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Modelación de series económicas mediante métodos automáticos de regresión difusa
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
En los métodos que se revisan a continuación, tanto las
variables de entrada como las de salida se deben descri-
bir con funciones de pertenencia específicas. En la mayo-
ría de métodos se incorporan las funciones de pertenencia
Gaussianas para las variables de entrada, pues describen
una amplia gama de fenómenos y la función de pertenen-
cia Delta para las variables de salida. Cabe señalar que los
métodos pueden ser modificados para cualquier tipo de
función de pertenencia de entrada o salida.
2.2 Mínimos cuadrados por lotes (MCL)
Este método aplica el estimador de mínimos cuadra-
dos ordinarios a conjuntos difusos. Para ello, es necesario
caracterizar el comportamiento del sistema mediante una
regla-base (centros y dispersiones de las funciones de per-
tenencia para las variables de entrada y salida). En los ca-
sos en los cuales se desconoce el comportamiento del sis-
tema, es posible utilizar otros algoritmos con la capacidad
de formar reglas, como los métodos de aprendizaje desde
el ejemplo; ver [15].
Para aplicar los mínimos cuadrados, se utiliza el siste-
ma
f
(
x
i
|
θ
) =
R
∑
l
=
1
b
l
µ
il
R
∑
l
=
1
µ
il
i
=
1, . . . ,
M
(3)
donde,
µ
il
=
n
∏
j
=
1
exp
−
1
2
x
i
j
−
c
l
j
σ
l
j
!
2
l
=
1, . . . ,
R
(4)
R
representa el número de reglas en la regla-base y
n
es la
dimensión del vector
x
. Es importante señalar que el pará-
metro
R
se desconoce para algunos métodos. En ciertos ca-
sos, este parámetro es determinado por el algoritmo direc-
tamente
e.g.
, aprendizaje desde el ejemplo modificado. Los
b
l
son los centros de las funciones de pertenencia de salida
y los
c
l
j
,
σ
l
j
son los centros y dispersiones de las funciones de
pertenencia de entrada, respectivamente. Hay que señalar
que la dispersión relativa
σ
l
j
>
0 para todo
l
y
j
. Los centros
y dispersiones de las funciones de pertenencia de entrada
se pueden inicializar utilizando un proceso heurístico, tal
que,
σ
l
j
=
σ
>
0
l
=
1, . . . ,
R
,
j
=
1, . . . ,
n
(5)
Luego por (3)
f
(
x
i
|
θ
) =
b
1
µ
i
1
R
∑
l
=
1
µ
il
+
b
2
µ
i
2
R
∑
l
=
1
µ
il
+
· · ·
+
b
R
µ
iR
R
∑
l
=
1
µ
il
i
=
1, . . . ,
M
si se nota:
ξ
il
=
µ
il
R
∑
l
=
1
µ
il
l
=
1, . . . ,
R
,
entonces,
f
(
x
i
|
θ
) =
b
1
ξ
i
1
+
b
2
ξ
i
2
+
· · ·
+
b
R
ξ
iR
es decir,
y
i
=
f
(
x
i
|
θ
) =
θ
⊤
ξ
i
(6)
donde:
θ
=
b
1
b
2
...
b
R
y
ξ
i
=
ξ
i
1
ξ
i
2
...
ξ
i
R
i
=
1, . . . ,
M
.
Se puede apreciar que (6) es similar al modelo de regre-
sión lineal [6]. La diferencia radica en que, en lugar de la
matriz
X
, se consideran los números difusos de la matriz
ξ
, de dimensión
R
×
M
, es decir, son los lotes o particiones
formadas por las funciones de pertenencia de las variables
de entrada [13].
Finalmente, si se nota
Φ
=
ξ
y se aplica el método de
mínimos cuadrados el estimador está dado por
ˆ
θ
= (
Φ
⊤
Φ
)
−
1
Φ
⊤
y
(7)
El método de mínimos cuadrados por lotes ha probado
ser muy eficiente para una gran variedad de aplicaciones.
Sin embargo, la matriz
Φ
⊤
Φ
podría ser mal condicionada.
Una generalización de este método para el caso de entrada-
salida múltiple se presenta en el Algoritmo 1.
Algoritmo 1
Mínimos cuadrados por lotes entrada-
salida múltiple
Entrada:
X
M
×
n
matriz de las variables de entrada
Y
M
×
H
matriz de las variables de salida
σ
>
0
1:
R
←
M
−
1
2:
c
l
j
←
x
l
j
+
1
2
(
x
l
+
1
j
−
x
l
j
)
l
=
1, . . . ,
R
,
j
=
1, . . . ,
n
3:
σ
l
j
←
σ
l
=
1, . . . ,
R
,
j
=
1, . . . ,
n
4:
para
i
←
1,
M
hacer
5:
para
l
←
1,
R
hacer
6:
µ
il
←
n
∏
j
=
1
exp
−
1
2
x
i
j
−
c
l
j
σ
l
j
!
2
7:
fin para
8:
ξ
il
←
µ
il
∑
R
l
=
1
µ
il
9:
fin para
10:
Φ
←
ξ
(
x
)
11:
para
h
←
1,
H
hacer
12:
ˆ
θ
h
←
Φ
⊤
Φ
−
1
Φ
⊤
y
h
13:
devolver
f
h
(
x
|
ˆ
θ
h
)
←
ˆ
θ
h
⊤
ξ
(
x
)
14:
fin para
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 23-42
25