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On Dufresne’s Translated Perpetuity and Some Black-Scholes Annuities
Analíti a
k
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
O
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UFRESNE
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LACK
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RASLADADA DE
D
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A
NUALIDADES DE
B
LACK
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CHOLES
Christophe Profeta
Laboratoire d’Analyse et Probabilités, Université d’Évry - Val d’Essonne, Bâtiment I.B.G.B.I., Évry, France.
christophe.profeta@univ-evry.fr
Recibido:
5 de mayo de 2013
Aceptado:
21 de noviembre de 2013
Abstract
Let
(
E
t
,
t
≥
0
)
be a geometric Brownian motion. In this paper, we compute the law of a generalization of Dufresne’s
translated perpetuity (following the terminology of Salminen-Yor) :
∫
+
∞
0
E
2
s
(
E
2
s
+
2
a
E
s
+
b
)
2
ds
,
and show that, in some cases, this perpetuity is identical in law with the first hitting time of a three-dimensional Bessel
process with drift. We also study the law of the following pair of annuities
(
∫
t
0
(
E
s
−
1
)
+
ds
,
∫
t
0
(
E
s
−
1
)
−
ds
)
via a Feynman-Kac approach, and discuss some particular cases for which we are able to recover the associated perpe-
tuities.
Keywords
: Geometric Brownian motion; Bessel processes ; Feynman-Kac formula.
Resumen
Sea
(
E
t
,
t
≥
0
)
un movimiento geométrico Browniano. En este artículo, calculamos la ley de una generalización de la
perpetuidad trasladada de Dufresne (con la terminología de Salminen-Yor) :
∫
+
∞
0
E
2
s
(
E
2
s
+
2
a
E
s
+
b
)
2
ds
,
y mostramos que en algunos casos, esta perpetuidad tiene la misma ley que el primer tiempo en el que un proceso
de Bessel de dimensión tres con deriva alcanza una cierta barrera. Estudiamos también la ley del par de anualidades
siguientes
(
∫
t
0
(
E
s
−
1
)
+
ds
,
∫
t
0
(
E
s
−
1
)
−
ds
)
con un teorema de Feynman-Kac, y discutimos algunos casos en los cuales podemos recuperar la ley de la perpetuidad
asociada.
Palabras clave
: Movimiento geométrico Browniano ; Proceso de Bessel ; Fórmula de Feynman-Kac.
Código MSC2000
: 60J65, 60J60, 60J55.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 4 (2014), Vol. 7(1): 7-19
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