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Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
Propuesta de modelación basada en un enfoque de redes probabilísticas: una aplicación a la consistencia
macroeconómica
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lema brinda algunos insumos:
Lema 1.
Para las distancias
d
ij
relacionadas a cualquier par de nodos nodos
i, j
∈
V,
donde
V
es un ´arbol de 3 o m´as nodos, se define la expresi´on
Φ
ijk
=
d
ik
−
d
jk
, cumple las
siguientes propiedades:
i
Φ
ijk
=
d
ij
paa todo
k
∈
V
\{
i, j
}
si y solamente si i es nodo terminal y
j
es su antecesor.
ii
Φ
ijk
=
−
d
ij
para todo
k
∈
V
\{
i, j
}
si y solamente si
j
es nodo terminal e
i
es su antecesor.
iii
−
d
ij
<
Φ
ijk
= Φ
ijk
< d
ij
para todo
k, k
∈
V
\{
i, j
}
si y solamente si
i
y
j
son nodos
terminales y tienen un mismo nodo antecesor
10
.
En base a lo anterior, se puede determinar las relaci´on entre los nodos
i
y
j
de la siguiente
manera:
Fijos los nodos
i, j
∈
V
, consid´erense todos los dem´as nodos
k
∈
V
\{
i, j
}
. Entonces, hay
tres posibles casos para el conjunto
{
Φ
ijk
:
k
∈
V
\{
i, j
}}
:
1. Φ
ijk
=
d
ij
para todo
k
∈
V
\{
i, j
}
. En este caso,
i
es un nodo terminal y
j
su antecesor.
De acuerdo al lema anterior, si el signo es negativo, la relaci´on es exactamente la
contraria.
2. Φ
ijk
es constante para todo
k
∈
V
\{
i, j
}
pero distinto de
d
ij
y de
−
d
ij
. En este caso,
i
y
j
son nodos terminales y tienen un antecesor com´un (nodos hermanos).
3. Φ
ijk
no es constante para todo
k
∈
V
\{
i, j
}
. Entonces, existen tres posibles subcasos
mutuamente excluyentes:
Los nodos
i
y
j
no son nodos hermanos y tampoco tienen una relaci ´On antecesor-
sucesor.
Los nodos
i
y
j
son nodos hermanos pero al menos uno de ellos no es un nodo terminal.
Los nodos i y j tienen una relaci´on antecesor-sucesor pero el sucesor no es un nodo
terminal.
Algoritmo de agrupamiento recursivo
A continuaci´on se describe el algoritmo de agrupamiento recursivo:
1. Iniciar definiendo al conjunto
Y
=
V
, es decir, incluyendo a todas las variables obser-
vables.
2. Calcular Φ
ijk
=
d
ik
−
d
jk
, para todo
i, j, k
∈
Y
. Donde
d
ik
para este caso corresponde
al coeficiente de correlaci´on asociado a la arista que une los nodos
i
y
k
.
10
La prueba del lema se puede encontrar en el Ap´endice A.1 de Choi
et al.
(2011)
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