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Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
Propuesta de modelación basada en un enfoque de redes probabilísticas: una aplicación a la consistencia
macroeconómica
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1. Construir el ´arbol de Chow-Liu
MST
(
V
;
D
). Hacer
T
←−
MST
(
V
;
D
)
2. Identificar el conjunto de nodos internos del
MST
(
V
;
D
).
3. Para cada nodo interno
i
, se define
nbd
[
i
;
T
] como su vecindario cerrado (todos los
nodos vecinos incluido
i
) en
T
. Sea
S
←−
AR
(
nbd
[
i
;
T
]
, D
) la salida al aplicar el
algoritmo anterior (agrupamiento recursivo) con
nbd
[
i
;
T
] como el conjunto de nodos
observables de entrada.
4. Reemplazar el sub´arbol sobre el conjunto de nodos
nbd
[
i
;
T
] en
T
con
S
. Notar con T
al nuevo ´arbol.
5. Repetir los pasos 3 y 4 hasta que todos los nodos internos hayan sido operados.
Explicaci´on del algoritmo BP
En lo que sigue, la explicaci´on se har´a en t´erminos de los campos aleatorios de Markov, sin
que esto implique una p´erdida de generalidad pues, existe una equivalencia entre cualquier
campo aleatorio de Markov, una red bayesiana o alg´un otro modelo gr´afico. Adem´as, como se
especifici´o en el art´ıculo, el enfoque de consistencia fue planteado utilizando modelos de ´arbol
con variables latentes (latent tree models), que son casos particulares de campos aleatorios
de Markov.
Al ser los nodos observables
y
i
fijos, se puede simplificar la escritura de
φ
i
(
x
i
, y
i
) como
φ
i
(
x
i
), de manera que la atenci´on se centre en la distribuci´on de probabilidad conjunta de
las variables desconocidas
x
i
:
P
(
{
x
}
) =
1
z
(
ij
)
ψ
ij
(
x
i
, x
j
)
i
φ
i
(
x
i
)
(14)
En el algoritmo BP, se utilizar´a la notaci´on
m
ij
(
x
j
) para referirse al “mensaje” que le
manda un nodo escondido
i
a otro nodo escondido
j
“cont´andole” cu´al deber´ıa ser su estado.
En la Figura 13 se ilustra esta notaci´on.
El mensaje
m
ij
(
x
j
) ser´a un vector de la misma dimensi´on de
x
j
donde el valor de cada
componente es proporcional a cuan probable el nodo
i
“cree” que el nodo
j
est´e en el estado
correspondiente a esa componente. En el algoritmo BP est´andar, el belief en un nodo
i
es proporcional al producto de la evidencia local en ese nodo, es decir
φ
i
(
x
i
), y todos los
mensajes que llegan al nodo
i
:
b
i
(
x
i
) =
kφ
i
(
x
i
)
j
∈
N
(
i
)
m
ji
(
x
i
)
(15)
Donde
N
(
i
) es el conjunto de todos los nodos comunicados con el nodo
i
(nodos vecinos)
y
k
es una constante de normalizaci´on, pues los beliefs deben sumar 1. Los mensajes quedan
determinados de manera recursiva por la siguiente regla de actualizaci´on:
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