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Víctor Morales Oñate; Bolívar Morales Oñate
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Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 14 (2), 2017
2.1 Inferencia basada en el dise˜no
Bajo este arquetipo, la poblaci´on es considerada fija y la muestra como una realizaci´on de
un proceso estoc´astico. La inferencia se basa en la distribuci´on de las estimaciones generadas
por el dise˜no muestral (conocida como
distribuci´on de referencia
(Fisher, 1956)). Es decir,
Y
k
no tiene ning´un supuesto distribucional y la inferencia de las propiedades estad´ısticas de los
estimadores se basa en la distribuci´on de las estimaciones que resulta de todas las posibles
muestras permisibles bajo el dise˜no muestral.
El estimador del total poblacional
T
y
=
k
∈U
y
k
, tambi´en conocido como estimador de
Horvitz-Thomson (HT), es uno de los m´as usados en la literatura:
ˆ
T
y
=
k
∈
S
y
k
π
k
=
k
∈U
y
k
I
k
π
k
.
(2)
Note que
y
k
es fijo, por tanto lo ´unico aleatorio en ˆ
T
y
es el c´omo opera
I
k
para que el elemento
k
sea incluido en la muestra. Se puede demostrar que ˆ
T
y
es un estimador insesgado de
T
y
y
que su varianza es:
V
ˆ
T
y
=
k
∈U
y
2
k
1
−
π
k
π
k
+
k
=
k
∈U
y
k
y
k
π
kk
−
π
k
π
k
π
k
π
k
(3)
donde
π
k
=
E
[
I
k
] =
E
[
I
2
k
] =
P rob
[
I
k
= 1], y
π
kk
=
P rob
[
I
k
= 1
, I
k
= 1] es la probabilidad
de inclusi´on conjunta de
k
y
k
.
De (3) se aprecia que la varianza de ˆ
T
y
es la varianza de las estimaciones de todas las
muestras de Ω, esto es, depende de la distribuci´on de referencia. Es decir que, en la IBDI, la
varianza de un estimador cualquiera no es estad´ısticamente dependiente de la distribuci´on
de
y
k
∈ U
.
En el caso de regresi´on lineal, suponga que cuenta con informaci´on de toda la poblaci´on
U
y los par´ametros de inter´es son los coeficientes
B
1
, . . . , B
p
del modelo de regresi´on. Entonces,
mediante el m´etodo de m´ınimos cuadrados ordinarios,
B
p
×
1
=
X
p
×
N
X
p
×
N
−
1
X
p
×
N
y
N
×
1
.
(4)
Por ejemplo, si
p
= 2,
x
2
k
es el ingreso disponible y
y
k
son los ahorros del
k
-´esimo hogar
(
k
= 1
, . . . , N
), en el ajuste
y
k
=
B
1
+
B
2
x
2
k
(
x
1
k
= 1),
B
2
representa el ahorro adicional
generado por un d´olar extra de ingreso disponible en la poblaci´on. En el caso de tener una
muestra
s
de un dise˜no muestral -por ejemplo, estratificado- deben tomarse en cuenta los
pesos (
w
k
= 1
/π
k
) de cada estrato para evitar el sesgo en la estimaci´on de los coeficientes
(para m´as detalle ver (Cochran, 1977, p´ags. 189-203)). Es importante mencionar que para la
estimaci´on de los coeficientes no se ha hecho ning´un supuesto distribucional de
y
|
x
.
B
s´olo
se considera como una caracter´ıstica que describe un aspecto de la poblaci´on finita
U
que
se desea estimar (Sarndal, 1992, p´ag. 190). Es decir, en la IBDI, el marco en el que se hace