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Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Portafolio de consumo: problema de Merton
Consumer portfolio: Merton problem
Eduardo Cepeda
†
†
Laboratoire d’Analyse et de Mathématiques Appliquées, UMR 8050. Université Paris-Est. 61, París, Francia
†
eduardo.cepeda@math.cnrs.fr
Recibido:
29 de octubre de 2011
Aceptado:
8 de diciembre de 2011
Resumen
En este documento exponemos la estructura de base de un problema clásico de control optimal ilustrado a través de
un ejemplo de matemáticas financieras. La modelación es realizada mediante la utilización de procesos estocásticos en
tiempo continuo y la herramienta utilizada es el cálculo estocástico desarrollado por Itô en los años 60 del siglo pasado.
El objetivo de este artículo es mostrar la aplicación de la teoría de Itô en la elección de la mejor inversión para optimizar
el consumo de un agente.
Palabras clave
: Control estocástico optimal, procesos estocásticos, movimiento browniano, problema de Merton.
Abstract
This paper describes the basic structure the Merton problem, classical in optimal control,exemplified in the context of
financial mathematics. The modeling is achieved by a continuous-time stochastic processes which is studied using Itô’s
stochastic calculus. The aim of this paper is to apply Itô’s theory to choose the best possible investment by optimizing
the consumption of an agent.
Keywords
: Optimal stochastic control, stochastic processes, Brownian motion, Merton problem.
Código JEL
: C02, C15, C41, C51, C63.
1 Introducción
Se presenta un caso particular del problema que fue ini-
cialmente estudiado por Merton [8] y es conocido bajo el
nombre de
Problema de alocación de portafolio
. Consiste en
escoger la mejor inversión sobre un número
n
de activos
bajo un contexto de incertidumbre, de tal manera que esta
inversión permita maximizar el consumo de un agente en
un horizonte finito o infinito de tiempo.
Se considera un agente (por ejemplo, una persona o una
empresa) que posee una cierta cantidad de riqueza
W
di-
vidida en acciones
S
que compra o vende en la bolsa y en
dinero
S
0
que guarda en el banco. El agente utiliza una por-
ción de esta riqueza - su consumo
C
- para vivir durante un
intervalo de tiempo
[
0,
T
]
, donde
T
puede ser finito o infi-
nito.
Evidentemente, el agente está interesado en determinar
la mejor combinación de acciones y dinero en el banco de
tal manera que le permita maximizar su consumo en el in-
tervalo de tiempo considerado. El problema que enfrenta
el agente es la maximización de su consumo
C
sobre
[
0,
T
]
para lo cual deberá definir
controles
sobre su riqueza
W
.
Los controles son las cantidades que modifican el valor
de la riqueza: las proporciones de acciones
π
y dinero
π
0
que debería tener en su “portafolio” y el consumo mismo.
El agente estudiará la evolución en el tiempo de tales con-
troles.
Puesto que se trabaja con cantidades cuyo valor es de-
terminado solamente cuando la configuración del mundo
es conocida en el futuro, de manera natural emerge un mo-
delo aleatorio.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
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