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Eduardo Cepeda
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Los ingredientes para formular un problema de control
son los siguientes:
•
Estado del sistema.-
Se considera un sistema dinámico,
es decir, que evoluciona en el tiempo, caracterizado com-
pletamente por su estado
W
en todo instante. El tiempo se-
rá considerado continuo (es posible también considerar el
tiempo como discreto lo que se puede modelar; por ejem-
plo, mediante cadenas de Markov). Aquí se considera que
el estado
W
varía continuamente y bajo condiciones de in-
certidumbre, es decir, de manera aleatoria (ver Sección B.1).
El estado del sistema
W
representa todo un conjunto de
las variables cuantitativas que sirven para describir el sis-
tema de manera exhaustiva. De manera general, el número
de variables de estado es considerado finito, en este caso en
particular sera igual a uno, la riqueza y toma sus valores en
el conjunto de los números reales.
Se nota
W
t
(
ω
)
el estado del sistema en el instante
t
≥
0
bajo una configuración del mundo
ω
∈
Ω
, donde
Ω
es un
espacio medible dotado de una medida de probabilidad
P
.
La aplicación
t
→
W
t
describe la evolución del sistema.
Esta evolución está determinada por un modelo probabi-
lístico.
•
Control.-
La dinámica
W
t
del estado del sistema es in-
fluenciada por un control que se modelará como un pro-
ceso
(
α
t
)
t
cuyo valor puede ser decidido en todo instante
t
, según la información disponible en
t
. Es decir,
α
es un
proceso adaptado (ver Definición 4) a alguna filtración (ver
Definición 3) y toma sus valores en un espacio de control
A
.
•
Criterio de costo.-
Dos modelos son usualmente utiliza-
dos para representar el comportamiento del agente: crite-
rio de esperanza de utilidad (modelo presentado en este
artículo) y el criterio de media-varianza (ver Sección A.1).
El objetivo es minimizar (o maximizar) sobre los controles
un funcional
1
de la forma
J
(
W
,
α
) =
E
Z
T
0
e
−
β
t
f
(
W
t
,
ω
,
α
t
)
dt
+
g
(
W
T
,
ω
)
,
en horizonte finito
T
<
+
∞
y
J
(
W
,
α
) =
E
Z
+
∞
0
e
−
β
t
f
(
W
t
,
ω
,
α
t
)
dt
,
en horizonte infinito.
El funcional
J
representa una utilidad en función del con-
sumo. La función
f
es la función de consumo integral,
g
es
el consumo final y
β
>
0 es un coeficiente de actualización.
Se considerará que el agente tiene un tiempo de vida
finito y además, que pretende consumir toda su riqueza
hasta el momento
T
<
+
∞
de su desaparición (sin dejar
herencia), es decir, se supone la riqueza final nula lo que
implica un consumo nulo, i.e.,
g
(
W
T
,
ω
) =
0. Se define en-
tonces la
función valor
como:
ϑ
(
W
) =
sup
α
J
(
W
,
α
)
.
Se plantean dos objetivos: determinar la función valor
ϑ
, el
“maxima” para el funcional
J
y los controles optimales que
lo realizan cuando estos existen.
En [3] los autores presentan una extensión del proble-
ma propuesto en este documento. Ellos consideran un acti-
vo cuya volatilidad es supuesta correlacionada a un factor
económico observable (tipo de modelo conocido como “a
volatilidad estocástica”) y utilizan un funcional del tipo
ϑ
(
W
) =
sup
π
t
,
c
t
E
Z
T
0
e
−
β
t
1
γ
(
c
t
W
t
)
γ
dt
,
donde
(
π
t
,
c
t
)
son respectivamente las fracciones de rique-
za utilizadas en activo y consumo.
Se ha seleccionado, por cuestiones de simplicidad, el
coeficiente de actualización
β
=
0 y se propone resolver
el problema de optimización siguiente:
ϑ
(
W
) =
sup
Π
t
,
C
t
J
(
W
,
Π
t
,
C
t
) =
sup
Π
t
,
C
t
E
Z
T
0
log
(
C
t
)
dt
, (1)
para una mejor comprensión de la elección de la función,
ver la Sección A.2.1.
El funcional
J
es utilizado para controlar un proceso de
difusión, lo que conduce una ecuación diferencial parcial
de primer orden no lineal conocida bajo el nombre de
Ecua-
ción de Hamilton - Jacobi - Bellman
(HJB).
El artículo está organizado de la siguiente manera: la
Sección 2 presenta en detalle el modelo de Black y Scholes
y todas las herramientas utilizadas en la resolución del pro-
blema que se propone resolver. La Sección 3 presenta el re-
sultado principal en la forma de un teorema, más un lema y
una proposición que son resultados auxiliares que comple-
tan el resultado general. Las pruebas se encuentran en la
Sección 4. En la Sección 5 se presenta una manera “intuiti-
va” de resolver un segundo problema en horizonte infinito
haciendo especial atención sobre la manera de deducir la
ecuación (HJB) asociada al problema de Merton, dándose
los controles optimales. Finalmente, los Apéndices A, B y
C presentan un soporte teórico del artículo, constantemen-
te el artículo hará referencia a estas secciones para identi-
ficar definiciones, resultados generales y discusiones sobre
los temas tratados.
2 Modelo y notaciones
Sean
(
Ω
,
F
,
P
)
un espacio probabilizado y
B
un
F
-
movimiento browniano estándar (ver Apéndice D. para
una exposición más detallada), se dispone del siguiente
modelo:
1
Generalmente, en economía, un problema de optimización es presentado como una minimización de costos. Por ejemplo, la maximización de
ingresos de una empresa mediante la minimización de su costos de producción. Entonces, la función de utilidad es dada como función del costo, en
este caso el parámetro de interés es el consumo.
38
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51