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Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
2.1 Modelo de Black y Scholes
Los rendimientos entre 0 y
t
se comportan como un
movimiento browniano (ver Definición 6.) de tendencia
µ
−
1
2
σ
2
y de coeficiente de difusión
σ
. Esta hipótesis se
traduce en las siguientes propiedades del proceso de pre-
cio de la acción
(
S
t
)
t
∈
[
0,
T
]
:
•
S
0
=
x
.
•
Los rendimientos log
(
S
t
)
−
log
(
S
s
)
siguen una ley
gausiana de media
µ
−
1
2
σ
2
(
t
−
s
)
y de varianza
σ
2
(
t
−
s
)
.
•
Para todo 0
<
t
1
<
t
2
<
· · ·
<
t
n
, los incrementos
relativos
n
S
t i
+
1
S
t i
o
para
i
=
0, 1,
· · ·
,
n
−
1 son inde-
pendientes y de misma ley.
Dicho de otra manera, existe un movimiento browniano
B
tal que
S
t
=
f
(
t
,
B
t
) =
x
exp
µ
t
+
σ
B
t
−
1
2
σ
2
t
,
(2)
el proceso
S
así definido es conocido como movimiento
browniano geométrico.
Mediante la aplicación de la fórmula de Itô (33) pa-
ra el movimiento browniano y la función
f
(
t
,
B
t
) =
x
exp
µ
t
+
σ
B
t
−
1
2
σ
2
t
, cuyas derivadas son:
f
′
t
(
t
,
z
) =
f
(
t
,
z
)
µ
−
1
2
σ
2
,
y
f
′
z
(
t
,
z
) =
f
(
t
,
z
)
σ
,
f
′′
zz
(
t
,
z
) =
f
(
t
,
z
)
σ
2
,
se deduce la ecuación (3).
Se considera que el portafolio del agente constituido es:
S
t
=
S
0
+
Z
t
0
µ
S
s
ds
+
Z
t
0
σ
S
s
dB
s
,
(3)
S
0
t
=
S
0
0
e
rt
,
(4)
donde (3) representa la dinámica de precios de la acción
S
t
con
S
0
>
0 y, (4) describe la evolución de una capitalización
a la tasa sin riesgo
r
con
S
0
0
>
0.
Se nota
H
t
y
H
0
t
a las cantidades de acciones y dinero
respectivamente, en el instante
t
. Se designa mediante
C
t
el
consumo instantáneo
del inversionista. Se supone que la
riqueza del inversionista
(
W
t
)
t
≥
0
, es autofinanciada (mirar
Definición 8):
W
t
=
H
0
t
S
0
t
+
H
t
S
t
=
W
0
+
R
t
0
H
0
t
dS
0
θ
+
R
t
0
H
t
dS
θ
−
R
t
0
C
θ
d
θ
,
(5)
donde la riqueza inicial
W
0
es determinista y estrictamen-
te positiva. Se supone además, que el “Sharpe ratio” (ver
Ecuación 34 y Apéndice D.3) satisface:
0
<
µ
−
r
σ
2
<
1,
(6)
esta condición se traduce a 0
<
λ
σ
<
1 (para la definición de
λ
ver Ecuación 35) que es una condición de admisibilidad.
O
BSERVACIÓN
1.
Si esta fracción fuese negativa, entonces
µ
<
r y el riesgo del activo ya no es justificado por una prima de riesgo
(
λ
<
0
). En este caso, se pondría todo el dinero en el banco y se
enfrentaría un problema diferente. Si fuese más grande que
1
, el
dinero en el banco ya no sería justificado puesto que la prima de
riesgo es mayor que el riesgo del activo (su volatilidad). También,
intuitivamente, mientras la fracción es más grande se vuelve más
interesante invertir en el activo que dejar el dinero en el banco.
Se define también las fracciones de riqueza
Π
t
y
Π
0
t
in-
vertidas en la acción y en dinero, respectivamente, median-
te:
Π
0
t
:
=
H
0
t
S
0
t
W
t
Π
t
:
=
H
t
S
t
W
t
si
W
t
6
=
0.
Π
0
t
:
=
0
Π
t
:
=
0
si
W
t
=
0.
(7)
Se observa, puesto que la riqueza es autofinanciada, que:
Π
0
t
+
Π
t
=
1 si W
t
6
=
0.
(8)
Notar que si
W
t
=
0, la riqueza ha sido consumida en su
totalidad y
Π
0
t
=
Π
t
=
0.
Se utilizará en todo el documento la notación
d
dx
V
(
x
,
y
) =
V
′
x
(
x
,
y
)
para toda función
V
derivable en
x
.
D
EFINICIÓN
1
(Ecuación de Hamilton - Jacobi - Bellman)
.
Sea
L
π
,
c
:
C
1,2
→
R
el operador funcional siguiente:
(
L
π
,
c
Φ
)(
t
,
x
)
:
=(
rx
−
c
+ (
µ
−
r
)
π
x
)
Φ
′
x
(
t
,
x
)
+
1
2
σ
2
π
2
x
2
Φ
′′
xx
(
t
,
x
)
.
Se define la siguiente ecuación diferencial parcial no-lineal:
Φ
′
t
(
t
,
x
) +
m´ax
π
∈
[
−
1,1
]
,
c
>
0
[(
L
π
,
c
Φ
) (
t
,
x
) +
log
(
c
)]) =
0
(
t
,
x
)
∈
[
0,
T
[
×
R
∗
+
,
Φ
(
T
,
x
) =
0
x
∈
R
∗
+
.
(9)
La ecuación (9) es llamada de Hamilton - Jacobi - Bell-
man (HJB) y es muy importante para resolver el problema
de optimización propuesto. Se mostrará que la solución de
(9) permite encontrar teóricamente el valor de la maximi-
zación de (1).
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
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