Versión de HTML Básico
Eduardo Cepeda
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
3 Resultados
Admisibilidad.-
Los procesos que fueron definidos en la
Sección 2.:
(
W
t
)
t
≥
0
,
(
Π
t
)
t
≥
0
y
(
C
t
=
C
(
W
t
))
t
≥
0
, deben cum-
plir ciertas propiedades de admisibilidad que aseguren su
buena definición (ver Definición 7).
P
ROPOSICIÓN
1.
Los controles
(
C
t
)
t
≥
0
y
(
Π
t
)
t
≥
0
son procesos
admisibles, y tales que:
i)
Π
t
∈
[
−
1, 1
]
,
P
-c.s.
∀
t
∈
[
0,
T
]
,
ii) C
t
>
0
,
P
-c.s.
∀ ∈
[
0,
T
]
,
iii)
(
C
t
)
t
≥
0
verifica
E
Z
T
0
|
log
(
C
θ
)
|
d
θ
<
+
∞
.
(10)
Además, el proceso
(
W
t
)
es es tal que:
a) W
t
>
0
,
P
-c.s.
∀
t
∈
[
0,
T
]
,
b)
(
W
t
)
t
≥
0
verifica
E
"
sup
0
≤
t
≤
T
[(
T
−
t
)
|
log
(
W
t
)
|
]
#
<
+
∞
.
(11)
Se demostrará una condición más fuerte que la pedida
en la definición de proceso de Itô:
E
[
R
X
s
ds
]
<
+
∞
, impli-
ca
R
X
s
ds
<
+
∞
c.s.
Ahora, se presenta la solución a la ecuación (9):
L
EMA
1.
La ecuación (9) posee la solución definida mediante
V
(
t
,
x
) =(
T
−
t
)
log
x
T
−
t
+
1
2
r
+
1
2
µ
−
r
σ
2
!
(
T
−
t
)
2
y se define V
(
T
,
x
) =
0
para todo x
∈
R
∗
+
.
T
EOREMA
1.
Sean
(
Ω
,
F
,
P
)
un espacio probabilizado, B un
F
-movimiento browniano estándar y los siguientes procesos
dS
t
=
µ
S
t
dt
+
σ
S
t
dB
t
,
dS
0
t
=
rS
0
t
,
dW
t
=
H
0
t
dS
0
t
+
H
t
dS
t
−
C
t
dt
,
(12)
donde S
0
, S
0
0
y W
0
son supuestos estrictamente positivos y deter-
ministas.
La solución al problema de control de la riqueza (1) es satisfecho
por los controles:
Π
∗
t
=
µ
−
r
σ
2
,
y C
t
=
W
∗
t
T
−
t
.
(13)
Estos controles definen el proceso (controlado):
W
∗
t
=
W
0
(
T
−
t
)
e
[
r
+
1
2
(
µ
−
r
σ
)
2
]
t
+
µ
−
r
σ
B
t
,
(14)
éste proceso es único c.s. Además, los procesos definidos en (13)
y (14) satisfacen las condiciones de admisibilidad descritas en la
Proposición 1.
Estos procesos son determinados por la función V
(
t
,
x
)
, so-
lución de la ecuación (9) explicitada en el Lema 1 que además
cumple:
V
(
0,
W
0
) =
ϑ
(
W
)
.
(15)
Observación.-
El mejor valor para
Π
t
es coherente con la
hipótesis (6). Además, se nota que el logaritmo del consu-
mo instantáneo
C
t
es la diferencia del logaritmo de la rique-
za y de
T
−
t
.
C
t
no es una función acotada, sin embargo es
integrable sobre
[
0,
T
]
.
4 Pruebas
4.1 Prueba del Lema 1.
Derivando la expresión de
V
(
t
,
x
)
se tiene
V
′
t
(
t
,
x
) =
−
log
x
T
−
t
+
1
−
r
+
1
2
µ
−
r
σ
2
!
(
T
−
t
)
,
V
′
x
(
t
,
x
) =
T
−
t
x
,
y
V
′′
xx
(
t
,
x
)
=
−
T
−
t
x
2
.
Reemplazando en la expresión de
L
π
,
c
, se obtiene
(
L
π
,
c
V
) (
t
,
x
) =(
rx
−
c
+ (
µ
−
r
)
π
x
)
T
−
t
x
−
1
2
σ
2
π
2
(
T
−
t
) +
log
(
c
)
.
Se considera
(
L
π
,
c
V
) (
t
,
x
)
como una función de
(
π
,
c
)
y se
estudia su matriz hessiana
H
(
L
π
,
c
V
)
(
π
,
c
) =
−
σ
2
(
T
−
t
)
0
0
−
1
c
2
cuyos valores propios son negativos, entonces es definida
negativa. Se deduce que la función
(
L
π
,
c
V
) (
t
,
x
)
es cónca-
va y su máximo es alcanzado en sus puntos extremos
∂
L
π
,
c
∂π
(
π
∗
,
c
∗
) =
0
=
⇒
π
∗
(
t
,
x
) =
µ
−
r
σ
2
,
∂
L
π
,
c
∂
c
(
π
∗
,
c
∗
) =
0
=
⇒
c
∗
(
t
,
x
) =
x
T
−
t
.
(16)
Por otro lado, se puede prolongar por continuidad
V
(
T
,
x
) =
0 para
x
∈
R
∗
+
. Lo que verifica que
V
(
t
,
x
)
es
solución de (HJB).
40
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51