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Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
4.2 Demostración del Teorema 1.
La idea de la demostración es utilizar la función
V
so-
lución de HJB (9) para dar una primera mayoración de la
función valor (1) de la forma
J
(
W
,
Π
t
,
C
t
)
≤
V
(
0,
W
0
)
para
cualquier pareja de controles
Π
t
y
C
t
. Entonces, se eligen
los controles (13) para construir el proceso
W
∗
t
, demostrán-
dose que para este proceso así construido, la primera de-
sigualdad demostrada se vuelve una igualdad al tomar el
sup sobre los controles.
Finalmente, se demuestra la unicidad de este proceso.
La verificación de las condiciones de admisibilidad expues-
tas en la Proposición 1 es realizada al final de la sección.
Utilizando la notación diferencial (12) de los procesos y
las ecuaciones (7) y (8) para
Π
t
, se observa que la dinámica
de la riqueza puede ser escrita de la siguiente manera:
dW
t
= [
rW
t
+
Π
t
W
t
(
µ
−
r
)
−
C
t
]
dt
+
σ
Π
t
W
t
dB
t
.
(17)
Se considera la solución
V
de (9). Se empieza demostrando
la desigualdad:
V
(
0,
W
0
)
≥
E
Z
T
0
log
(
C
t
)
dt
,
(18)
para todo
π
y
c
. Aplicando la fórmula (diferencial) de Itô a
V
(
t
,
W
t
)
, se encuentra
dV
(
t
,
W
t
) =
V
′
x
(
t
,
W
t
)
dW
t
+
V
′
t
(
t
,
W
t
)
dt
+
1
2
V
′′
xx
(
t
,
W
t
)
σ
2
H
2
t
S
2
t
dt
,
y al reemplazar (17) para
dW
t
dV
(
t
,
W
t
) =
V
′
x
[
rW
t
−
C
t
+
Π
t
W
t
(
µ
−
r
)]
dt
+
V
′
x
(
t
,
W
t
)
σ
W
t
Π
t
dB
t
+
V
′
t
(
t
,
W
t
)
dt
+
1
2
V
′′
xx
(
t
,
W
t
)
σ
2
Π
2
t
W
2
t
dt
,
gracias a que
V
satisface la ecuación HJB (9), se tiene
V
′
t
(
t
,
W
t
)
≥ −
V
′
x
[
rW
t
−
C
t
+
Π
t
W
t
(
µ
−
r
)]
−
1
2
V
′′
xx
(
t
,
W
t
)
σ
2
Π
2
t
W
2
t
−
log
(
C
t
)
.
(19)
Esta desigualdad es verdadera para todo control
(
Π
t
,
C
t
)
∈
[
−
1, 1
]
×
R
∗
+
. Además,
dV
(
t
,
W
t
)
≤ −
log
(
C
t
)
dt
+
V
′
x
(
t
,
W
t
)
σ
W
t
Π
t
dB
t
,
(20)
puesto que
|
Π
t
| ≤
1, y el proceso
ϕ
(
s
) =
V
′
x
(
s
,
W
s
)
σ
W
s
Π
s
=
σ
(
T
−
s
)
Π
s
es adaptado y cumple
R
T
′
0
ϕ
2
(
s
)
ds
<
+
∞
. Se deduce que
ϕ
∈
H
2
y gracias al Teorema 4. es una martingala cuya
esperanza, es nula.
Se toma la esperanza de la integral de esta expresión
entre
[
0,
T
−
ǫ
[
y se calcula el límite cuando
ǫ
tiende a 0
l´ım
ǫ
−→
0
E
Z
T
−
ǫ
0
dV
(
t
,
W
t
)
≤ −
l´ım
ǫ
−→
0
E
Z
T
−
ǫ
0
log
(
C
t
)
dt
.
Entonces, con (10) se aplica el teorema de Lebesgue, se
cambia el límite y esperanza y se usa
V
(
T
,
W
T
) =
0. La
desigualdad obtenida es válida para cualquier control ad-
misible
(
Π
θ
)
y
(
C
θ
)
, se deduce
V
(
0,
W
0
)
≥
sup
(
Π
θ
)
,
(
C
θ
)
E
Z
T
0
log
(
C
θ
)
d
θ
.
Se define entonces el proceso
(
W
∗
t
)
correspondiente a
los controles definidos en (13)
C
t
:
=
c
∗
(
t
,
W
∗
t
)
y
Π
t
:
=
π
∗
(
t
,
W
∗
t
)
:
dW
∗
t
=
rW
∗
t
−
W
∗
t
T
−
t
+
W
∗
t
µ
−
r
σ
2
dt
+
µ
−
r
σ
W
∗
t
dB
t
,
W
∗
0
=
W
0
.
(21)
Se busca la solución a esta ecuación diferencial estocás-
tica que puede ser escrita bajo la forma:
(
dW
∗
t
W
∗
t
=
a
−
1
T
−
t
dt
+
b dB
t
,
W
∗
0
=
W
0
.
(22)
donde
a
=
r
+
µ
−
r
σ
2
y
b
=
µ
−
r
σ
. Bajo la fórmula de Itô
(33) a
f
(
t
,
W
t
)
con
f
(
t
,
x
) =
log
(
x
)
, suponiendo que
W
t
es
positivo, se logra:
d
(
log
W
∗
t
) =
dW
∗
t
W
∗
t
−
1
2
b
2
dt
y se reemplaza
dW
∗
t
W
∗
t
por su valor:
d
(
log
W
∗
t
) =
a
−
b
2
2
−
1
T
−
t
dt
+
bdB
t
.
Se integra sobre
[
0,
t
]
y se reemplaza las expresiones de
a
y
b
lo que permite dar la expresión de
W
∗
t
que se escribe de
la siguiente manera:
W
∗
t
=
W
0
(
T
−
t
)
T
exp
r
+
1
2
(
µ
−
r
σ
)
2
t
+
µ
−
r
σ
B
t
.
(23)
Ahora bien, siguiendo los mismos pasos que para la de-
mostración de (18), en este caso se aplica la fómula de Itô
a la función
V
(
t
,
W
∗
t
)
, las desigualdades (19) y (20) se vuel-
ven igualdades y se verifica:
V
(
0,
W
0
) =
E
Z
T
0
log
(
c
∗
(
θ
,
W
θ
))
d
θ
.
(24)
Unicidad.-
Al suponer que existe otra solución
X
t
(con
X
0
=
W
∗
0
) de (21). Se define
Z
t
=
W
0
/
W
∗
t
, aplicando la
fórmula de Itô a
f
(
t
,
x
) =
W
0
/
x
se encuentra la dinámica
de
Z
t
:
(
dZ
t
=
−
Z
t
a
−
b
2
−
1
T
−
t
dt
−
b Z
t
dB
t
,
Z
0
=
1.
(25)
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
41