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Eduardo Cepeda
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
donde
a
y
b
son definidos en (22). Posteriormente se aplica
la fórmula de integración por partes a
(
X
t
Z
t
)
(ver Propo-
sición 3. del apéndice)
d
(
X
t
Z
t
) =
X
t
dZ
t
+
Z
t
dX
t
+
d
h
X
,
Z
i
t
=
−
X
t
Z
t
a
−
b
2
−
1
T
−
t
dt
+
b dB
t
+
Z
t
X
t
a
−
1
T
−
t
dt
+
b dB
t
+ (
bX
t
) (
−
bZ
t
)
dt
=
0.
Integrando esta expresión entre 0 y
t
≤
T
, se obtiene
X
t
=
Z
−
1
t
X
0
Z
0
=
W
t
W
0
W
0
=
W
t
c
.
s
.
Lo que termina la demostración del teorema.
Guardando el espíritu divulgativo del artículo, la de-
mostración de la unicidad del proceso
W
t
ha sido realiza-
da utilizando argumentos básicos de la teoría de Itô. En la
teoría de ecuaciones diferenciales estocásticas, resultados
generales de existencia y unicidad convierten la propiedad
de unicidad de
W
t
en un caso trivial.
Se observa que la ecuación diferencial (HJB) aparece de
una forma natural a partir de la fórmula de Itô. Gracias a la
expresión explícita de la riqueza del inversionista
W
∗
t
de-
ducimos que
W
∗
t
→
0 cuando
t
→
T
, es decir,
W
∗
T
=
0 c.s.
Esto se interpreta del modo siguiente, se considera
[
0,
T
]
el
período de vida del inversionista, entonces éste busca con-
sumir el máximo posible en el curso de su vida sin dejar
nada de herencia en
T
.
4.3 Demostración de la Proposición 1.
La condición de admisibilidad (ver Proposición 1.-
i)
)
para
Π
∗
t
definida en (13), es satisfecha gracias a la hipótesis
(6).
Para verificar la admisibilidad de
C
∗
t
=
W
∗
t
T
−
t
(la cual
es estrictamente positiva c.s. puesto que
W
∗
t
lo es por cons-
trucción), se usa (23) y se manifiesta el proceso
log
(
C
∗
t
) =
log
(
T
−
t
) +
log
(
W
0
)
+
r
+
1
2
(
µ
−
r
)
2
σ
2
t
+
µ
−
r
σ
B
t
,
y se observa que
C
∗
t
satisface (10).
Además
W
∗
t
satisface la condición de admisibilidad
(11), en efecto
(
T
−
t
)
|
log
(
W
∗
t
)
| ≤
(
T
−
t
)
|
log
(
T
−
t
)]
|
+
T
|
log
(
W
0
)
|
+
r
+
1
2
(
µ
−
r
)
2
σ
2
T
2
+
µ
−
r
σ
T
m´ax
0
≤
θ
≤
T
|
B
θ
|
y gracias a la relación siguiente
E
m´ax
0
≤
θ
≤
T
|
B
θ
|
2
≤
4
T
,
se deduce la ecuación (11).
5 Segundo problema - Razonamiento
heurístico
Del mismo modo se aplica estas ideas con
σ
constante
(en horizonte infinito de tiempo) al operador siguiente
J
(
W
,
π
t
,
c
t
) =
E
Z
+
∞
0
1
γ
e
−
α
t
c
t
W
t
γ
dt
,
α
>
0, (26)
donde
c
t
es una fracción de la riqueza consumida. El objeti-
vo de esta sección es poner en evidencia la fórmula de Itô y
mostrar como interviene en la construcción de la ecuación
(HJB) de modo muy importante. Esta ecuación será expli-
citada al final de la sección. Una demostración formal en el
caso general se puede encontrar en [5].
Sea
V
(
x
)
una función suficientemente derivable (que
depende solamente de
x
), aplicando la fórmula de Itô se
obtiene
dV
(
W
s
) =
V
′
(
x
)
dW
s
+
1
2
V
′′
(
x
)
π
2
σ
2
ds
.
Reemplazando la dinámica de la riqueza, esta ecuación se
convierte en
dV
(
X
s
) =
V
′
(
x
)
X
s
r
+ (
µ
−
r
)
π
−
c
)
ds
|
{z
}
+
πσ
dB
s
+
1
2
V
′′
(
x
)
π
2
σ
2
ds
|
{z
}
.
Las expresiones sobre las llaves deben desaparecer dejando
una función
Φ
(
x
,
c
)
y una martingala, entonces es necesa-
rio que la función V satisfaga la siguiente relación (la base
de la ecuación)
0
=
rxV
′
(
x
) +
opt
π
,
c
(
V
′
(
x
)(
µ
−
r
)
π
−
cV
′
(
x
)
+
1
2
V
′′
(
x
)
π
2
σ
2
x
2
−
Φ
(
x
,
c
)
)
,
donde
opt
=
m´ax o m´ın según el caso. Al recordar la forma
de la función valor, se observa el término
e
−
α
t
dentro de la
integral (26). Aplicando entonces la fórmula de Itô sobre la
función
e
−
α
t
V
(
x
)
(técnica semejante a la de la variación de
la constante para la resolución de ecuaciones diferenciales),
se tiene
d
(
e
−
α
s
V
(
x
)) =
e
−
α
s
dV
s
−
α
e
−
α
s
V
(
x
)
ds
.
42
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51