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Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Se describe la dinámica de
V
(
x
)
:
dV
(
x
) =
Φ
(
x
,
c
)
ds
+
V
′
(
x
)
σπ
dB
s
. Esta relación será verdadera solamente si
V
(
x
)
es la solución de (HJB), es decir, si satisface la igual-
dad (
??
). Si se tiene la última igualdad y se la reemplaza, se
obtiene
d
(
e
−
α
s
V
(
x
)) =
e
−
α
s
Φ
(
x
,
c
)
ds
+
V
′
(
x
)
σπ
dB
s
−
α
e
−
α
s
V
(
x
)
ds
.
De aquí se deduce la elección de
Φ
(
x
,
c
) =
α
V
(
x
)
−
1
γ
c
γ
x
γ
.
Para que la integral estocástica esté bien definida, la
condición
V
′
(
X
s
)
es
F
-adaptada y
R
+
∞
0
(
σπ
V
′
(
X
s
))
2
ds
<
+
∞
deben ser verificadas, y se obtiene una martingala de
esperanza nula.
Para determinar finalmente la forma de (HJB) en este
caso, se estudia el operador
0
= (
L
π
,
c
V
) (
x
) =
V
′
(
x
)(
µ
−
r
)
π
−
cV
′
(
x
)
+
1
2
V
′′
(
x
)
π
2
σ
2
x
2
−
α
V
(
x
)
+
1
γ
c
γ
x
γ
,
cuya matriz hessiana es
H
(
L
π
,
c
V
)
(
π
,
c
) =
V
′′
(
x
)
x
2
σ
2
0
0
(
γ
−
1
)
c
γ
−
2
x
γ
.
Que será definida positiva si
γ
>
1, entonces la escritura
siguiente de la ecuación (HJB) es justificada:
rxV
′
(
x
) +
m´ın
π
,
c
xV
′
(
x
) (
µ
−
r
)
π
−
c
+
1
2
V
′′
(
x
)
x
2
π
2
σ
2
−
α
V
(
x
) +
1
γ
c
γ
x
γ
=
0
condición sobre
V
:
e
−
α
t
V
(
x
)
→
0
cuando
t
→
∞
∀
x
∈
R
.
De este modo se obtiene
V
(
x
) = (
c
∗
)
γ
−
1
x
γ
γ
con los controles optimales
π
∗
=
µ
−
r
σ
2
(
1
−
γ
)
y
c
∗
=
α
−
γ
(
µ
−
r
)
2
2
σ
2
(
1
−
γ
)
+
r
1
−
γ
.
6 Implementación numérica
A continuación se presenta los resultados de la simu-
lación numérica. Se seleccionó 4 estrategias diferentes pa-
ra compararlas con la estrategia optimal. Las primeras tres
consisten en modificar la cantidad de riqueza invertida en
el activo manteniendo la misma manera de consumo que
la estrategia optimal: 1
)
inversión 100 % activo, 2
)
100 %
banco, esta estrategia representa el comportamiento de un
agente con un gusto nulo por el riesgo y es la mejor estra-
tegia sin riesgo; y 3
)
(AB) estrategia de alza-baja, empeza-
mos con una inversión de 50 % de la riqueza inicial la cual
es modificada de
+
10 % si el activo sube de precio y de
−
10 % si el activo baja de precio.
Finalmente, se incorporó una última estrategia que mo-
difica la forma de consumo manteniendo las proporciones
de inversión optimales: 4
)
(Const.) Consumo constante, la
tasa de consumo instantáneo es constante en tiempo e igual
a 80 %, evidentemente este tipo de consumo tiene el defecto
de no agotar toda la riqueza en
T
.
Se presentará el comportamiento del agente bajo dos
configuraciones opuestas del mercado (activo de precio
creciente o bullish y decreciente o bearish) en cada caso se
simula dos trayectorias para cada estrategia que mostrarán
las evoluciones de:
W
t
, la riqueza,
C
t
, el consumo y para
comprender las decisiones del agente se añade la trayecto-
ria
S
t
, del curso del activo sobre la cual las estrategias han
sido ejecutadas.
Para realizar las simulaciones en el caso optimal, en pri-
mer lugar se nota que gracias a la expresión (13) el consu-
mo
C
t
es un movimiento browniano geométrico, el cual se-
rá trazado con la ayuda del modelo de Black y Scholes (ver
(2)), y se simula la riqueza
W
t
a partir de la expresión (23).
Las estrategias de test han sido simuladas mediante el
esquema de discretización siguiente
C
i
−
1
=
W
i
−
1
n
T
(
n
−
i
+
1
)
,
y
W
i
=
W
i
−
1
−
C
i
−
1
n
π
S
i
+ (
1
−
π
)
e
r
T
n
,
con
C
0
=
W
0
.
Parámetros de la simulación:
Horizonte de tiempo
T
=
1, riqueza inicial
W
0
=
1, valores iniciales del activo y de la
capitalización sin riesgo
S
0
=
S
0
0
=
1. Parámetros del acti-
vo:
µ
=
0,06 y volatilidad
σ
=
0,12, tasa de interés
r
=
0,04.
El número de puntos de una trayectoria simulados es fijado
a
n
=
1000 y el número de trayectorias para cada estrategia
M
=
1000000.
Estos valores de los parámetros se han escogidos por
las siguientes razones
•
El logaritmo de la riqueza inicial al anularse convier-
te la función valor más sensible a
r
,
µ
y
σ
, que son los
parámetros que dan significado e importancia a este
tipo de estrategias.
•
Una tasa de interés de 4 % es una elección realista.
•
El valor de
Π
=
0,5 respeta las condiciones de ad-
misibilidad. Además, al evitar la aproximación a los
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
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