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Modelación de series económicas mediante métodos automáticos de regresión difusa
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
donde,
l
=
1, 2, . . . ,
R
,
y
i
es la parte de la salida del
i
-
ésimo par de datos
d
(
i
)
= (
x
i
,
y
i
)
y el producto entre
(
ˆ
x
i
)
⊤
y
a
l
define la salida asociada con la
l
-ésima regla
para el
i
-ésimo punto de datos de entrenamiento, [4]. Al
observar (20), se puede notar que la minimización de
J
l
respecto a
a
l
corresponde a un problema de mínimos
cuadrados ponderados, cuya solución es:
a
l
= (
ˆ
X
⊤
D
2
l
ˆ
X
)
−
1
ˆ
X
⊤
D
2
l
Y
,
donde,
ˆ
X
=
1 . . .
1
x
1
. . .
x
M
,
Y
= [
y
1
, . . . ,
y
m
]
⊤
,
D
2
l
= (
diag
[
µ
1
l
, . . . ,
µ
Ml
])
2
.
Una descripción detallada de este método generalizado
al caso entrada-salida múltiple, se encuentra en el Algorit-
mo 4.
Algoritmo 4
Agrupamiento difuso combinado
entrada-salida múltiple
Entrada:
X
M
×
n
matriz de las variables de entrada
Y
M
×
H
matriz de las variables de salida
R
número de reglas (clases o grupos)
ǫ
c
>
0,
m
>
1
1:
X
m´ın
←
m´ın
{
x
j
,
j
=
1, . . . ,
n
}
2:
X
m´ax
←
m´ax
{
x
j
,
j
=
1, . . . ,
n
}
3:
v
l
0
j
←
X
m´ın,
j
+
l
X
m´ax,
j
−
X
m´ın,
j
R
+
1
j
=
1, . . . ,
n
,
l
=
1, . . . ,
R
4:
v
l
new
←
v
l
0
l
=
1, . . . ,
R
5:
mientras
|
v
l
new
−
v
l
old
|
>
ǫ
c
i
←
1, . . . ,
M
,
l
←
1, . . . ,
R
hacer
6:
µ
new
il
←
R
∑
k
=
1
|
x
i
−
v
l
old
|
2
|
x
i
−
v
k
old
|
2
1
m
−
1
−
1
7:
v
l
new
←
M
∑
i
=
1
x
i
(
µ
new
il
)
m
M
∑
i
=
1
(
µ
new
il
)
m
8:
fin mientras
9:
para
i
←
1,
M
hacer
10:
ˆ
x
i
←
[
1,
x
i
]
11:
fin para
12:
ˆ
X
←
ˆ
x
⊤
13:
Y
←
[
y
1
, . . . ,
y
m
]
⊤
14:
D
2
l
←
(
diag
[
µ
1
l
, . . . ,
µ
Ml
])
2
15:
para
h
←
1,
H
hacer
16:
para
l
←
1,
R
hacer
17:
a
lh
←
(
ˆ
X
⊤
D
2
l
ˆ
X
)
−
1
ˆ
X
⊤
D
2
l
Y
h
18:
devolver
g
lh
(
x
)
←
a
⊤
lh
ˆ
x
19:
fin para
20:
fin para
2.6 Mínimos cuadrados recursivo combinado
(MCRC)
Hasta ahora se han descrito y generalizado los métodos
automáticos de regresión difusa que se encuentran en la li-
teratura, [13, 15]. En esta sección, se propone el método de
mínimos cuadrados recursivo combinado, el cual constitu-
ye el principal aporte teórico de este trabajo. Este método
se compone de dos etapas; en primer lugar, se utiliza el al-
goritmo c-medias difuso para la identificación de las reglas
del sistema; luego, se aplica el método de mínimos cuadra-
dos recursivo para caracterizar el conjunto de salida [2].
Los resultados numéricos demuestran el buen desempeño
de este método, como se verá en la Sección 3.
El método de mínimos cuadrados recursivo, requiere
que la regla-base del sistema esté completamente especifi-
cada,
i.e.
, número de reglas, centros de funciones de per-
tenencia, etc. Puesto que las reglas del sistema en los mé-
todos automáticos se encargan de predecir y/o gobernar
las salidas de los sistemas difusos, es necesario un algorit-
mo que permita una adecuada especificación de reglas. El
algoritmo c-medias difuso especifica eficientemente las re-
glas del sistema; y luego, se procede a la aplicación del mé-
todo de mínimos cuadrados recursivo. Este método posee
características muy útiles para ser implementado:
•
no requiere la inversión de una matriz, como en el
caso de los mínimos cuadrados por lotes y agrupa-
miento difuso combinado. En su lugar, se calcula úni-
camente el inverso de un escalar,
•
los mínimos cuadrados recursivos son más eficientes
para incluir las reglas del sistema [13],
•
la convergencia del método es competitiva respecto a
otras técnicas [7].
Estas razones justifican la implementación del método
de mínimos cuadrados recursivo.
El método MCRC se describe a continuación:
1. Determinar el número de centros
: se inicializa
R
,
R
=
c
,
v
l
new
=
v
l
0
l
=
1, . . . ,
R
para lo cual se aplica algún método heurístico.
2. Calcular una partición de los datos
: se asigna cada pun-
to al grupo más cercano utilizando la función de perte-
nencia
µ
new
il
=
R
∑
k
=
1
|
x
i
−
v
l
old
|
2
|
x
i
−
v
k
old
|
2
1
m
−
1
−
1
,
3. Calcular los nuevos centros
: mediante
v
l
new
=
M
∑
i
=
1
x
i
(
µ
new
il
)
m
M
∑
i
=
1
(
µ
new
il
)
m
,
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 23-42
29