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Josué M. Polanco-Martínez
Analíti a
k
8
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
τ
(
ω
i
) =
1
2
ω
i
arctan
[
∑
N
n
=
1
sen
(
2
ω
i
t
n
)
∑
N
n
=
1
cos
(
2
ω
i
t
n
)
]
.
(6)
2.2 El periodograma clásico vs. el periodogra-
ma de Lomb-Scargle
La definición de periodograma clásico [38, 44] para el
caso de muestreos equiespaciados en el tiempo, es :
p
(
f
i
) =
1
N
[
N
∑
n
=
1
X
(
t
n
)
cos
(
ω
i
t
n
)
]
2
+
[
N
∑
n
=
1
X
(
t
n
)
sin
(
ω
i
t
n
)
]
2
donde
ω
i
=
2
π
f
i
, para i=1, 2,..., k. Los tiempos de mues-
treo están dados por
t
n
=
n
·
∆
t
, para n=1, 2,..., N y
∆
t
es
la longitud constante del intervalo de muestreo. Como se
puede apreciar, la primera diferencia notable entre el pe-
riodograma clásico (ec. 7) y el de Lomb-Scargle (ec. 1) es la
forma en cómo se definen. Las otras difencias se presentan
a continuación.
1.
Frecuencias ortogonales
. Tradicionalmente, el perio-
dograma clásico para series equiespaciadas en el
tiempo está definido [33, 38] para un conjunto discre-
to de frecuencias ortogonales
f
r
, para las cuales las
estimaciones del periodograma son independientes
entre sí; esto es:
f
r
=
r
T
Tot
(8)
para
r
= 0, 1,...,
[
|
N
/2
|
]
, donde
[
|
N
/2
|
]
es el núme-
ro máximo de frecuencias y está definido por la fun-
ción máximo entero, y donde
T
Tot
=
t
N
−
t
1
,
i. e.
, la
duración de la serie temporal y para el caso equies-
paciado
T
Tot
= (
N
−
1
)
·
∆
t
. Las frecuencias
f
r
, al ser
utilizadas en la relación (7), aseguran que el poder es-
pectral correspondiente a diferentes frecuencias sea
independiente para cualquier par de frecuencias del
conjunto de frecuencias ortogonales, y que sea rete-
nida la máxima cantidad de información posible de
los datos originales [45]. Sin embargo, para el caso no
equiespaciado en el tiempo, no es posible encontrar
un conjunto de frecuencias ortogonales para las cua-
les el poder espectral sea independiente [38, 45].
2.
La frecuencia (razón) de muestreo y la frecuencia de
Nyquist
. Para el caso equiespaciado en el tiempo, la
frecuencia de muestreo
f
s
puede definirse como [32]
f
s
=
1
∆
t
,
(9)
por lo cual la frecuencia de Nyquist
f
Nyq
viene dada
por
f
Nyq
=
f
s
2
=
1
2
∆
t
.
(10)
Para el caso no equiespaciado en el tiempo, no hay
definida una frecuencia de muestreo, y por tanto,
una frecuencia de Nyquist [38, 45]. No obstante, hay
varias propuestas para manejar este problema. Por
ejemplo, Van-Dongen
et al.
[45] proponen utilizar la
frecuencia real de Nyquist calculada por medio de la
ventana espectral (
periodogram window
) (veáse la sec-
ción 2.3 para más detalles). Bretthorst [4], en cambio,
propone la frecuencia crítica de Nyquist, definida co-
mo
f
cNyq
=
1
2
∆
t
′
,
(11)
donde
∆
t
′
es siempre menor o igual que el más pe-
queño intervalo de tiempo de muestreo. Por último,
Schulz y Statteger [43] proponen una frecuencia de
Nyquist promedio, esto es
<
f
Nyq
>
=
1
2
<
∆
t
>
,
(12)
donde
<
∆
t
>
es el valor medio de los intervalos
temporales de muestreo.
3.
El teorema de Parseval
. Una propiedad importan-
te del periodograma clásico, para series temporales
equiespaciadas en el tiempo, es el teorema de Parse-
val,
i.e
, la energía total de una señal real es la misma
ya sea si es calculada en el dominio del tiempo o en el
de la frecuencia [32]. Sin embargo, cuando las series
no están equiespaciadas en el tiempo, este teorema
no se cumple [45].
2.3 Estimación de las frecuencias naturales
Como se mencionó anteriormente, las frecuencias de-
finidas por la relación (8), para el caso no equiespaciado,
no son ortogonales. Sin embargo, de acuerdo con Fuller-
ton [6], estas frecuencias pueden considerarse aproxima-
damente ortogonales para el caso no equiespaciado [6, 45].
A este conjunto de frecuencias utilizadas para calcular el
periodograma se conocen como
frecuencias naturales
; están
definidas [38, 45] por:
f
′
r
=
r
′
T
Tot
,
(13)
para
r
′
=
0, 1, 2, ...,
M
max
, donde
M
max
es el número máxi-
mo de frecuencias naturales.
Para el caso en que los muestreos no están equiespaciados
en el tiempo,
M
max
depende de los tiempos de muestreo,
y la frecuencia
f
M
max
no necesariamente corresponde con
la frecuencia de Nyquist –que aparecería si las muestras
estuvieran equiespaciadas temporalmente–. Por lo tanto,
es necesario utilizar una alternativa válida a la frecuencia
de Nyquist [38, 45]. Por ejemplo, si se opta por emplear
10
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 4 (2014), Vol. 8(2): 7-23
(7)
,