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Estimación espectral de datos ambientales no equiespaciados vía el periodograma...
Analíti a
k
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
la
frecuencia real de Nyquist
sugerida por Van-Dongen
et al.
[45], el procedimiento es el siguiente.
Para poder determinar la frecuencia real de Nyquist
f
aNyq
,
se hace uso de una función matemática conocida como
ventana espectral o función de respuesta espectral
[45]. Esta
función depende sólo de los tiempos de muestreo,
{
t
n
}
N
n
=
1
y de la diferencia de las frecuencias
∆
f
=
f
a
−
f
b
, donde
f
a
y
f
b
son dos frecuencias consecutivas cualesquiera. Para
el caso en que el muestreo está equiespaciado en el tiem-
po, existe una fórmula exacta para representar la ventana
espectral; pero para el caso correspondiente a un muestreo
no equiespaciado en el tiempo, no existe una fórmula exac-
ta para su representación [38, 45]. Sin embargo, es posible
utilizar la siguiente aproximación [17, 38, 45].
W
(
∆
f
) =
1
N
2
[ (
N
∑
n
=
1
cos
(
2
π
∆
f
(
t
n
−
θ
))
)
2
+
(
N
∑
n
=
1
sen
(
2
π
∆
f
(
t
n
−
θ
))
)
2
]
,
(14)
donde
θ
= (
t
1
+
t
N
)
/2. Los valores de
W
(
∆
f
)
están defi-
nidos entre 0 y 1 y es una función simétrica con respecto a
∆
f
,
i. e.
,
W
(
−
∆
f
) =
W
(
∆
f
)
[45].
Para determinar la
f
aNyq
se hace uso del fenómeno co-
nocido como
aliasing
. Esto es, para dos frecuencias cuya
suma o diferencia es un múltiplo entero de la frecuencia
de muestreo, es posible construir una pareja de sinusoides
que, después del muestreo, no son distinguibles una de la
otra debido a que contienen las mismas muestras (Figura
1).
Figura 1.
Dos diferentes sinusoides que se ajustan a un mismo
conjunto de muestras y que ejemplifican el fenómeno del
aliasing
.
Los tiempos (eje x) están en unidades arbitrarias. Elaboración pro-
pia.
Las copias debido al fenómeno del
aliasing
aparecerán
cada 2
m f
aNyq
, donde
m
= ...,-2,-1,1,2,... Por ejemplo, para
el caso en que la serie temporal es cercanamente equies-
paciada en el tiempo (las muestras están uniformemente
distribuidas), se puede utilizar una
f
aNyq
, que equivale al
caso en que la serie está equiespaciada. A continuación se
realiza una inspección visual, para ello se dibuja la ven-
tana espectral relación (14) utilizando como límite de las
frecuencias a la
f
aNyq
y un valor de
m
mayor o igual a
2 ‘réplicas’. Cuando la ventana espectral se repite en un
determinado valor de
m
, entonces el valor de
f
aNyq
es el
límite para las frecuencias en el que se puede calcular el
periodograma de Lomb-Scargle [15, 45].
En el caso de que las muestras no equiespaciadas tem-
poralmente formen grupos que estén espaciados más o
menos regularmente, entonces la máxima frecuencia natu-
ral estará determinada por el número de grupos
n
′
[15, 45];
esto es:
f
aNyq
=
(
n
′
−
1
)
/2
T
Tot
.
(15)
Nótese que
M
max
no está determinado por el número de
muestras. Las muestras individuales dentro de un grupo
pueden ser consideradas como medidas redundantes ob-
tenidas aproximadamente al mismo tiempo; por ello, más
muestras dentro de cada grupo no incrementan la
f
aNyq
.
Sin embargo, incrementan la significación estadística del
periodograma [45].
3 El periodograma crudo vs. suaviza-
do
El periodograma crudo,
i. e.
, el que se obtiene utilizan-
do la relación (1), es un estimador inconsistente del espec-
tro [3]. Esto es, el radio de la desviación estándar o coe-
ficiente de variación del periodograma no tiende a cero a
medida que el número de elementos de la serie aumen-
ta [3, 23]. Un método para mejorar la estimación del es-
pectro en términos de tendencia, varianza y supresión de
falsos picos espectrales –de modo que se obtenga un esti-
mador consistente– fue propuesto por Welch [49]. Esta téc-
nica es conocida como
Welch-Overlapped-Segment-Averaging
(WOSA), y fue originalmente diseñada para el caso corres-
pondiente a series temporales equiespaciadas en el tiem-
po [49]. Para el caso de series no equiespaciadas temporal-
mente, Schulz y Statteger [43] hicieron una adaptación de
la técnica de Welch. El método propuesto por estos autores
[43], consiste en partir la serie temporal que se va a estu-
diar (de longitud
N
) en varios segmentos (
n
50
) de longitud
N
Seg
=
2
N
/
(
n
50
+
1
)
, de tal modo que cada uno de estos
segmentos se solape durante la mitad de su longitud (véase
Figuras 2 y 3).
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 4 (2014), Vol. 8(2): 7-23
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