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Josué M. Polanco-Martínez
Analíti a
k
8
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Figura 2.
Serie temporal ejemplo (suma de dos funciones armó-
nicas con periodos 2
π
/50 y 2
π
/120 más ruido Gaussiano
N
(0,
0.95)) con N elementos a la cual se le aplica la técnica WOSA. Ela-
boración propia.
Figura 3.
Diagrama donde se muestra el procedimiento de la téc-
nica WOSA, utilizando la serie de la Figura 2, con
n
50
=
3 y
N
Seg
=
N
/2. Elaboración propia.
En el espectro, para evitar las irregularidades de los ex-
tremos de los
N
Seg
segmentos, al usar WOSA, se ha de apli-
car (multiplicar) algún tipo de función-ventana (conocida
como
taper
) a cada segmento
n
50
en el dominio del tiempo
[43, 49]. Existen diferentes tipos de ventanas (una amplia
revisión puede encontrarse en [12, 26]), pero una de las más
utilizadas es la ventana de Hann o de Hanning, la cual está
definida [12] como:
w
(
n
) =
0.5
[
1
−
cos
(
2
π
n
N
Seg
−
1
)]
,
(16)
para
n
=0, 1, ..,
N
Seg
−
1.
La función-ventana es escalada de esta forma
∑
w
2
n
=
N
Seg
. A continuación, para los
n
50
segmentos de la serie
temporal a los cuales se les ha aplicado la función venta-
na escalada, se calcula el periodograma de Lomb-Scargle
mediante (1). Por último, se calcula el promedio de los
n
50
espectros crudos. El espectro promedio resultante es un es-
timador consistente del (auto) espectro [3, 43]; se le cono-
ce como espectro suavizado y se define de este modo, de
acuerdo con Schulz y Stattegger [43]
ˆ
G
xx
(
f
i
) =
2
n
50
∆
f N
seg
n
50
∑
n
=
1
|
X
n
(
f
i
)
|
2
,
i
=
1, 2, ...
k
,
(17)
donde
∆
f
=
1/
(
N
seg
<
∆
t
>
)
y
|
X
n
(
f
i
)
|
2
es el periodo-
grama de Lomb-Scargle definido en la relación (1).
Dado el escalado del espectro suavizado relación (17), se
cumple la siguiente relación con la varianza de la serie
temporal:
∆
f
∑
ˆ
G
xx
=
σ
2
x
,
(18)
donde
∆
f
es la frecuencia fundamental [43].
Debido a que las componentes de los espectros crudos
siguen una distribución del tipo
χ
2
[30, 33] con 2 grados de
libertad, (17) también sigue ese tipo de distribución [43].
Cada uno de los
n
50
espectros de la ecuación (17) incre-
menta los grados de libertad, por lo cual se reduce el error
estándar de la estimación del espectro. Sin embargo, el so-
lapamiento de los
n
50
segmentos introduce una correlación
entre los segmentos; por ello, es necesario introducir el
concepto de número efectivo de segmentos
n
e f f
, donde el
n
e f f
es mucho menor que el
n
50
, y la relación entre ellos de
acuerdo con Schulz y Stattegger [43], viene dada por
n
e f f
=
n
50
(
1
+
2
c
2
50
−
2
c
2
50
n
50
)
−
1
,
(19)
donde
c
50
es una constante que depende del tipo de la fun-
ción ventana, por ejemplo, para la ventana de Hanning
c
50
=
0.167 [12]. Por tanto, los grados de libertad
ν
para
(17) dependerán del
n
e f f
relación (19), y por tanto, de la
constante
c
50
; esto es:
ν
=
2
n
e f f
(20)
La distribución del auto-espectro (17) viene dada por la
relación [30, 33]
ˆ
G
xx
(
f
i
)
G
xx
(
f
i
)
=
χ
2
ν
.
(21)
De aquí, se sigue que un
(
1
−
α
)
intervalo de confianza pa-
ra
G
xx
(
f
i
)
, basado en la estimación de ˆ
G
xx
(
f
i
)
, puede ser
calculado por [3]
12
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 4 (2014), Vol. 8(2): 7-23