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Josué M. Polanco-Martínez
Analíti a
k
8
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
1. Se estima
τ
m
para la serie temporal a estudio
X
(
t
r
)
(
r
=
1, 2, ...,
N
) utilizando el algoritmo TAUEST de
Mudelsee [22]. En caso de utilizar varios
n
50
segmen-
tos WOSA, se calcula el promedio de los
τ
m
’s de to-
dos los
n
50
segmentos.
2. Se estima, mediante el PLS, el espectro
b
G
xx
(
f
i
)
de
X
(
t
r
)
en el intervalo
[
0,
<
f
Nyq
>
]
, y se determina
el área bajo
b
G
xx
(
f
i
)
para estimar la varianza de
X
(
t
r
)
.
3. Se realizan p=1 a
N
sims
simulaciones de Monte-Carlo.
•
Se crea la p-ésima serie temporal AR1 por me-
dio de (24), usando los tiempos
t
r
’s de la serie
X
(
t
r
)
, el
τ
m
estimado en el paso 1 y un conjunto
independiente de
E
(
t
r
)
’s.
•
Se estima el espectro
b
G
rr
(
f
i
)
para la serie AR1.
•
Se escala
b
G
rr
(
f
i
)
de tal modo que su área bajo
el espectro sea igual al área bajo el espectro de
b
G
xx
(
f
i
)
.
Se determina la media aritmética de los
N
sims
espec-
tros correspondientes a las series AR1,
<
b
G
rr
(
f
i
)
>
4. Se calcula el espectro teórico
G
rr
(
f
i
)
de un proceso
AR1, utilizando la relación (26) y el valor estimado
de
τ
m
.
5. Se calcula
G
o
(relación 26) de tal modo que el área
bajo
G
rr
(
f
i
)
sea igual al área bajo
b
G
xx
(
f
i
)
.
6. Se calcula un factor de corrección
c
(
f
i
)
para ajustar la
desviación del espectro Lomb-Scargle,
i. e.
c
(
f
j
) =
<
b
G
rr
(
f
i
)
>
G
rr
(
f
i
)
.
(27)
7. Se calcula el espectro de Lomb-Scargle corregido:
c
G
′
xx
(
f
i
) =
b
G
xx
(
f
i
)
c
(
f
i
)
.
(28)
8. Para calcular la significación estadística de un pico
espectral, el intervalo superior de confianza del ruido
AR1 es calculado para varios niveles de significación
(
v. gr.
, 0.95 o 0.99), siguiendo una distribución del ti-
po
χ
2
con
ν
grados de libertad (calculados, con (20)).
También es posible calcular niveles de significación a
partir de los percentiles del
ensemble
de Monte-Carlo.
9. Se verifica si el modelo AR1 es adecuado para descri-
bir
X
(
t
r
)
probando la igualdad de
G
rr
(
f
i
)
y
c
G
′
xx
(
f
i
)
usando el test no paramétrico de Wald-Wolfowitz
más comúnmente conocido como
runs test
) [3].
5 Algunas consideraciones prácticas
en la estimación del espectro
En esta sección, se presentan las principales considera-
ciones prácticas que se deben tener en cuenta para la es-
timación del espectro suavizado vía el periodograma de
Lomb-Scargle; ello se realiza mediante dos ejemplos con se-
ries temporales no equiespaciadas temporalmente. Se ha-
ce énfasis en cómo utilizar esta metodología y en la inter-
pretación de los resultados. El primer ejemplo corresponde
a una serie temporal paleoclimática utilizada para estimar
temperaturas del aire en la superficie de la Tierra; provie-
ne de testigos de hielo de Groenlandia y cubre los últimos
50.000 años [11]. El segundo ejemplo corresponde a una
serie temporal de capturas de atún rojo obtenidas en las
almadrabas del duque de Medina Sidonia, las cuales estu-
vieron operativas durante el periodo 1525 a 1816 [18]. Para
ambos ejemplos se utilizó el paquete computacional de uso
gratuito REDFIT (ver. 3.5) creado por Schulz y Mudelsee
[42], y que se encuentra disponible en
http://www.ncdc.
noaa.gov/paleo/softlib/redfit/redfit.html
.
5.1 Caso práctico 1: valores medios de
δ
18
O de
GISP2
La serie temporal no equiespaciada utilizada en este
ejemplo corresponde a valores medios de
δ
18
O (per mil);
proviene del proyecto de testigos de hielo GISP2 (
the Green-
land Ice Sheet Project Two
) y fue obtenida del
National Cli-
matic Data Center
, NOAA
3
. El principal interés científico de
ésta serie se debe al hecho de que ha sido utilizada como un
buen paleo-indicador de temperaturas superficiales del ai-
re para, al menos, el área geográfica a la que pertenece [11].
En este trabajo, se hace énfasis en el intervalo 15 a 50.000
años
4
(Figura 4), por dos razones; primero, debido a que
a priori
se conoce que presenta un ciclo de
ca.
1470 años
[11, 40]; segundo, porque el intervalo 15-50.000 años pre-
senta una gran irregularidad en el muestreo (con un valor
medio de 110 años) (Figura 5), en comparación con los últi-
mos 10.000 años (con un valor medio de 13 años); finalmen-
te, debido a que las técnicas de análisis espectral requieren
que la series a estudio sean estacionarias y, como se puede
observar (Figura 4), la serie de
δ
18
O que cubre los 50.000
años no parece satisfacer este requerimiento. Una posible
solución para sortear este inconveniente es dividir la se-
rie en dos partes con características estadísticas similares.
Esta división, en este caso de estudio, también está susten-
tada desde el punto de vista de la física del clima, debido
a que el segmento temporal del Holoceno (últimos 11.000
años) presenta características climáticas diferentes respecto
del periodo inter-glaciar (entre 12 y 50.000 años).
3
ftp://ftp.ncdc.noaa.gov/pub/data/paleo/icecore/greenland/summit/gisp2/isotopes/gispd18o.txt
4
La serie alcanza los 110.000 años antes del presente, pero es muy factible que los errores de datación para estas edades pudieran afectar la estima-
ción del espectro.
14
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 4 (2014), Vol. 8(2): 7-23