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Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
Efecto de la rentabilidad, volatilidad, densidad de cotización y tipos de comisiones en la riqueza terminal
de una cuenta individual de capitalización
85
ANEXO
A. Demostraci´on de la Proposici´on 2.1
Para el c´alculo de Var(
W
s
(
T
)), es necesario calcular la varianza de
W
i
s
(
T
)
y la covarianza entre
W
i
s
(
T
) y
W
j
s
(
T
). Como
W
i
s
(
T
) tiene una distribuci´on
log-normal
Var(
W
i
s
(
T
)) =
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
1
.
(47)
Asimismo, se quiere verificar que para
j > i
y
W
j
>
0
Cov(
W
i
s
(
T
)
, W
j
s
(
T
)) =
σ
W
i
s
(
T
)
,W
j
s
(
T
)
= Var(
W
j
s
(
T
))
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
j
−
i
)
,
(48)
donde el GBM
W
i
s
se define en (2).
A partir de las propiedades de
W
i
s
, se tiene
σ
W
i
s
(
T
)
,W
j
s
(
T
)
=
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
−
σ
2
2
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
Cov
e
σ
(
B
(
T
)
−
B
(
i
))
, e
σ
(
B
(
T
)
−
B
(
j
))
(49)
=
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
−
σ
2
2
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
Cov
e
σ
(
B
(
T
)
−
B
(
j
)+
B
(
j
)
−
B
(
i
))
, e
σ
(
B
(
T
)
−
B
(
j
))
(50)
=
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
−
σ
2
2
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
E
e
σ
(
B
(
j
)
−
B
(
i
))
Var
e
σ
(
B
(
T
)
−
B
(
j
))
(51)
=
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
−
σ
2
2
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
2
(
j
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
j
)
−
1 (52)
=
W
2
j
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
j
)
−
1
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
j
−
i
)
(53)
=Var(
W
j
s
(
T
))
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
j
−
i
)
.
(54)
Para obtener (51) se utiliza el hecho que
B
(
T
)
−
B
(
j
) es independiente de
B
(
j
)
−
B
(
i
).
Las f´ormulas (47) y (48) generan la siguiente expresi´on para la covarianza de
los valores finales de los aportes
i
y
j
para todo 0
≤
i
≤
T
−
1 y 0
≤
j
≤
T
−
1
Cov(
W
i
s
(
T
)
, W
j
s
(
T
)) =
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
.
(55)
Utilizando (55), se puede calcular la varianza de
W
s
(
T
) a trav´es de
Var(
W
s
(
T
)) =
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
.
(56)
42