Versión de HTML Básico
Luis Chavez-Bedoya
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
86
B. Demostraci´on de la Proposici´on 2.2
S´olo vamos a mostrar el resultado correspondiente a Var(
W
s
(
T
)), debido
a que Var(
W
f
(
T
)) se puede obtener asumiendo
δ
= 0 y multiplicando la
expresi´on resultante por
e
−
2
α
.
Primero, trabajamos con Var(
Z
i
W
i
s
(
T
)). Es claro que
E
[
W
i
s
(
T
)
2
] = Var(
W
i
s
(
T
)) +
E
[
W
i
s
(
T
)]
2
=
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
,
(57)
porque
E
[
W
i
s
(
T
)] =
W
i
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
,
(58)
y
Var(
W
i
s
(
T
)) =
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
1
.
(59)
Entonces,
Var(
Z
i
W
i
s
(
T
)) =
E
[
Z
2
i
W
i
s
(
T
)
2
]
−
E
[
Z
i
W
i
s
(
T
)]
2
(60)
=
E
[
Z
2
i
]
E
[
W
i
s
(
T
)
2
]
−
E
[
Z
i
]
2
E
[
W
i
s
(
T
)]
2
(61)
=
p
i
E
[
W
i
s
(
T
)
2
]
−
p
2
i
E
[
W
i
s
(
T
)]
2
(62)
=
p
i
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
p
2
i
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
(63)
=
p
i
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
p
i
.
(64)
Para obtener (61), utilizamos el hecho que
W
i
s
(
T
) y
Z
i
son independientes.
La expresi´on (62) se justifica porque
Z
i
∼
Bernoulli(
p
i
) y
E
[
Z
2
i
] =
E
[
Z
i
] =
p
i
.
Para obtener (63), se han utilizado (58) y (57). Tambi´en es importante
calcular la covarianza de
Z
i
W
i
s
(
T
) y
Z
j
W
j
s
(
T
) para
i
=
j
. Entonces,
Cov(
Z
i
W
i
s
(
T
)
, Z
j
W
j
s
(
T
))
=
E
[
Z
i
W
i
s
(
T
)
Z
j
W
j
s
(
T
)]
−
E
[
Z
i
W
i
s
(
T
)]
E
[
Z
j
W
j
s
(
T
)]
(65)
=
E
[
Z
i
Z
j
]
E
[
W
i
s
(
T
)
W
j
s
(
T
)]
−
E
[
Z
i
]
E
[
Z
j
]
E
[
W
i
s
(
T
)]
E
[
W
j
s
(
T
)]
(66)
=
p
i
p
j
E
[
W
i
s
(
T
)
W
j
s
(
T
)]
−
E
[
W
i
s
(
T
)]
E
[
W
j
s
(
T
)]
(67)
=
p
i
p
j
Cov(
W
i
s
(
T
)
, W
j
s
(
T
))
(68)
=
p
i
p
j
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
(
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1)
.
(69)
En (66) hemos utilizado el hecho que
B
y
Z
son procesos independientes.
Adem´as, (67) se justifica debido a que
{
Z
i
}
es una secuencia independiente
43