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Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
Efecto de la rentabilidad, volatilidad, densidad de cotización y tipos de comisiones en la riqueza terminal
de una cuenta individual de capitalización
87
y
E
[
Z
i
] =
p
i
para todo
i
. En (69) se ha utilizado la expresi´on (48). De esta
forma, Var(
W
s
(
T
)) se puede expresar como
Var(
W
s
(
T
)) =
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
, j
=
i
Cov(
Z
i
W
i
s
(
T
)
, Z
j
W
j
s
(
T
)) +
T
−
1
i
=0
Var(
Z
i
W
i
s
(
T
))
(70)
=
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
, j
=
i
p
i
p
j
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
+
T
−
1
i
=0
p
i
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
p
i
.
(71)
Para obtener (71) se han utilizado las expresiones de Cov(
Z
i
W
i
s
(
T
)
, Z
j
W
j
s
(
T
))
y Var(
Z
i
W
i
s
(
T
)). Finalmente, despu´es de algunas manipulaciones algebraicas
obtenemos Var(
W
s
(
T
)), la cual coincide con la expresi´on dada en (14).
C. Demostraci´on de la Proposici´on 2.3
S´olo vamos a mostrar el resultado correspondiente a Var(
W
s
(
T
)), debido
a que Var(
W
f
(
T
)) se puede obtener al asumir
δ
= 0 en la varianza por saldo
y multiplicar por
e
−
2
α
la expresi´on resultante .
Se verifica inmediatamente que, al considerar
p
i
=
p
en (14) y tomar la
derivada parcial con respecto de
p
, se obtiene
∂
p
Var(
W
s
(
p, T
)) = 2
p
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
+(1
−
2
p
)
T
−
1
i
=1
W
2
i
e
(2(
µ
−
δ
)+
σ
2
)(
T
−
i
)
.
(72)
Se observa claramente que si 0
< p
≤
1
2
se tiene
∂
p
Var(
W
s
(
p, T
))
>
0. Despu´es
de algunas simplificaciones en (72) tenemos
∂
p
Var(
W
s
(
p, T
)) = 2
p
T
−
1
i
=0
T
−
1
j
=0
, j
=
i
W
i
W
j
e
(
µ
−
δ
)(
T
−
i
+
T
−
j
)
e
σ
2
(
T
−
m´ax
{
i,j
}
)
−
1
44