Versión de HTML Básico
Luis Chavez-Bedoya
Analítika, Revista de análisis estadístico, (2016), Vol. 11
88
+
T
−
1
i
=1
W
2
i
e
2(
µ
−
δ
)(
T
−
i
)
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
2
p .
(73)
Finalmente, (73) ser´a mayor que cero si
e
σ
2
(
T
−
i
)
−
2
p >
0 para todo 0
≤
i
≤
T
−
1, lo cual se satisface cuando
e
σ
2
−
2
p >
0, o equivalentemente cuando
σ
2
>
ln(2
p
).
D. Demostraci´on de la Proposici´on 2.4
Las expresiones de
E
[
W
s
(1)] y Var(
W
s
(1)) se derivan inmediatamente de
(12) y (14) cuando se hace
T
= 1. Adem´as, si
T
≥
2, entonces se puede
expresar
W
s
(
T
) como
W
s
(
T
) = (
W
s
(
T
−
1) +
Z
T
−
1
W
T
−
1
)
V
s
(
T
)
V
s
(
T
−
1)
,
(74)
donde
V
s
(
T
)
V
s
(
T
−
1)
=
e
(
µ
−
δ
−
σ
2
2
)+
σ
(
B
(
T
)
−
B
(
T
−
1))
,
(75)
y
V
s
es el valor cuota del fondo de pensiones descrito en la Secci´on 2 pero ajus-
tado por la comisi´on por saldo
δ
, i.e., se ajusta el drift de la EDE (1) al cam-
biar
µ
por
µ
−
δ
. Adem´as, por las propiedades de la distribuci´on lognormal, se
tiene
E
[
V
s
(
T
)
/V
s
(
T
−
1)] =
e
µ
−
δ
y Var (
V
s
(
T
)
/V
s
(
T
−
1)) =
e
2(
µ
−
δ
)
(
e
σ
2
−
1).
Como
W
s
(
T
−
1) y
Z
T
−
1
son independientes de
V
s
(
T
)
/V
s
(
T
−
1) (debido a
los incrementos independientes del GBM), tenemos
E
[
W
s
(
T
)] =
E
[
W
s
(
T
−
1) +
Z
T
−
1
W
T
−
1
]
×
E
V
s
(
T
)
V
s
(
T
−
1)
(76)
=
e
µ
−
δ
(
E
[
W
s
(
T
−
1)] +
p
T
−
1
W
T
−
1
)
.
(77)
Por definici´on del proceso de interrupci´on,
Z
, las variables aleatorias
W
s
(
T
−
1) y
Z
T
−
1
son independientes entre s´ı; con lo cual, aplicando la f´ormula de
la varianza del producto de variables aleatorias independientes, tenemos
Var(
W
s
(
T
)) = Var
W
s
(
T
−
1) +
Z
T
−
1
W
T
−
1
×
E
V
s
(
T
)
V
s
(
T
−
1)
2
+(
E
[
W
s
(
T
−
1) +
Z
T
−
1
W
T
−
1
])
2
×
Var
V
s
(
T
)
V
s
(
T
−
1)
(78)
= (Var(
W
s
(
T
−
1)) +
p
T
−
1
(1
−
p
T
−
1
))
W
T
−
1
)
×
e
2(
µ
−
δ
)+
σ
2
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