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Adriana Uquillas Andrade; Carlos Luis González Vallejo
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Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 14 (2), 2017
De manera general, se considera el proceso estoc´astico con
k
variables independientes
{
(
X
t
1
, X
t
2
, . . . , X
tk
, Y
t
1
) :
t
= 1
, . . . , n
}
siguiendo el modelo lineal:
Y
t
=
β
0
+
β
1
X
t
1
+
· · ·
+
β
k
X
tk
+
N
t
(1)
Donde
{
N
t
:
t
= 1
,
2
, . . . , n
}
es la secuencia de perturbaciones estoc´asticas, que puede
interpretarse como una medida de nuestra ignorancia de los fen´omenos modelados y n es el
n´umero de per´ıodos de tiempo observados.
Las suposiciones del modelo son: 1) En la muestra (y por lo tanto en el proceso de la
serie temporal subyacente), ninguna variable independiente es constante y tampoco es una
combinaci´on lineal perfecta de las otras. 2) Para cada
t
, el valor esperado del error
N
t
,
dadas las variables explicativas para todos los periodos de tiempo, es cero. Es decir, las
variables explicativas son contempor´aneamente ex´ogenas. 3) Condicionado a
X
, la varianza
de
N
t
es la misma para todo
t
(Homoscedasticidad). En presencia de heteroscedasticidad es
posible trabajar con el modelo de Heterocedasticidad Condicional Autoregresiva (ARCH) . 4)
Condicionado a
X
, los errores en dos per´ıodos de tiempo diferentes no est´an correlacionados.
La prueba estad´ıstica de correlaci´on serial es utilizada en este caso para detectar la falta de
especificaci´on din´amica. Los modelos m´as populares son los Modelos Autoregresivos. 5) Los
errores
N
t
son independientes de
X
y son independientes e id´enticamente distribuidos. 6) El
proceso estoc´astico es estacionario y d´ebilmente dependiente.
3.1 Modelo ARIMAX - funci´on de transferencia
Para la descripci´on de esta secci´on se utilizan los trabajos de Novales (1993), Pankratz (1991)
y Andrews
et al.
(2013)
La representaci´on del modelo de funci´on de transferencia puede ser escrita como:
Y
t
=
C
+
υ
(
B
)
X
t
+
N
t
(2)
Donde:
•
Y
t
es la serie de salida (variable dependiente);
•
C
es un t´ermino constante;
•
X
t
es la serie de entrada (variable independiente); y
•
N
t
es la perturbaci´on estoc´astica del modelo que admitir´a una representaci´on univa-
riante:
N
t
=
θ
(
B
)Θ(
B
)
φ
(
B
)Φ(
B
)
u
t
(3)