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Redes sociales evolutivas: un ejercicio descriptivo y predictivo
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Analiti a, Revista de análisis estadístico, Vol. 15 (1), 2018
de que un cambio de un estado
x
a un estado
x
(
ij
±
)
, que es un estado id´entico a
x
pero
contrario en la existencia link (
i, j
), es:
π
i,j
=
exp
(
f
i
(
x
(
ij
±
)
;
β
))
Σ
n
h
=1
exp
(
f
i
(
x
(
ih
±
)
;
β
))
El detalle de estas t´ecnicas puede ser observado en Scott y Carrington (2012).
3.2.1 Procesos de Markov
Seg´un se expone en Steward (2009) un
proceso estoc´astico
se define como una familia de
variables aleatorias
{
X
t
, t T
}
. El ´ındice
t
representa usualmente al tiempo, de manera que
X
(
t
) denota el valor de una variable aleatoria en este tiempo.
T
es el conjunto de ´ındices
y es un subconjunto de los n´umeros Reales (
−∞
,
+
∞
). Si
T
es discreto, por ejemplo,
T
=
{
0
,
1
,
2
, . . .
}
se dir´a que el proceso estoc´astico es
discreto en el tiempo
, por otra parte si
T
es continuo, por ejemplo,
T
=
{
t
|
0
≤
t <
+
∞}
el proceso estoc´astico ser´a
continuo en el
tiempo
. Los valores asumidos por las variables
X
(
t
) ser´an denominadas
estados
. Si el espacio
de estados es discreto, el proceso se suele denominar
cadena
y a los estados se los identifica
con el conjunto de los n´umeros naturales.
Un proceso estoc´astico se dice
estacionario
si su distribuci´on adjunta es invariante a
cambios en el tiempo, esto es:
P
(
X
(
t
1
)
≤
x
1
, X
(
t
2
)
≤
x
2
, . . . , X
(
t
n
)
≤
x
n
) =
P
(
X
(
t
1
+
α
)
≤
x
1
, X
(
t
2
+
α
)
≤
x
2
, . . . , X
(
t
n
+
α
)
≤
x
n
)
para todo
n
, todo
t
i
y
x
i
con
i
= 1
,
2
, . . . , n
.
Una
cadena Markov
es una
cadena
a tiempo discreto
{
X
n
, n
= 0
,
1
,
2
, . . .
}
es un proceso
estoc´astico que satisface la siguiente relaci´on, denominada la
propiedad de Markov
.
P
(
X
n
+1
=
x
n
+1
|
X
n
=
x
n
, X
n
−
1
=
x
n
−
1
, . . . , X
0
=
x
0
) =
P
(
X
n
+1
=
x
n
+1
|
X
n
=
x
n
)
para todos los estados
x
n
.
Notar que en la cadena de Markov la probabilidad condicional conjunta de los estados
indica que un estado
x
n
+1
depende solamente del estado
x
n
, a esta propiedad se le denomina
falta de memoria.
La probabilidad condicional
P
(
X
n
+1
=
x
i
|
X
n
=
x
j
), notada por facilidad
p
ij
=
P
(
X
n
+1
=
j
|
X
n
=
i
) se denomina la
probabilidad de transici´on
en un paso del estado
i
=
x
i
al
j
=
x
j
.
La matriz
P
(
n
), formada de colocar
p
ij
(
n
) en la fila
i
y en la columna
j
se denomina la
matriz de probabilidades de transici´on
y es: