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Juan Mayorga - Zambrano
Analíti a
k
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
transacciones de divisas), pues esto atrae a un mayor nú-
mero de personas. Debido a la alta rentabilidad del nego-
cio, los clientes optan, generalmente, por reinvertir un alto
porcentaje de su capital y de sus ganancias.
El esquema Ponzi de Bernard Madoff (detectado en di-
ciembre 2008) cae en la última descripción. El fraude de
Madoff alcanzó los 50.000 millones de dólares, el mayor
llevado a cabo por una sola persona. Madoff fue el presi-
dente de una de las firmas de inversiones más importantes
de Wall Street, que lleva su nombre y que fundó en 1960.
Sus fondos de inversión daban unos beneficios de
entre el 10 % y el 15 % al año, lo cual es algo ex-
traordinariamente bueno, pero no escandalosamente
bueno. Y aunque lloviese o nevase fuera, él asegura-
ba ganancias cada mes. . . [5].
En diciembre de 2008, Madoff fue detenido por el FBI y
acusado de fraude. El 29 de junio de 2009 fue sentenciado
a 150 años de cárcel [9].
1.2 Justificación
Este trabajo tiene su origen en la curiosidad propia del
matemático y en el hecho de que personas cercanas al autor
fueron afectadas por esquemas piramidales. ¿Cómo fun-
ciona este esquema al punto de engañar a miles de perso-
nas (incluyendo a personas con estudios universitarios)?
Cuando me he puesto a investigar sobre el particular
me he encontrado con bastante literatura pero po-
cas matemáticas que expliquen el éxito inicial y el
desplome posterior de estos instrumentos financie-
ros. . . no he encontrado un modelo accesible y fácil
que muestre el mecanismo de auge, colapso y caída
de las pirámides financieras o, mejor, que pueda pro-
nosticar su colapso a efectos didácticos para evitar
en lo posible futuras víctimas de este timo financie-
ro. . . [5].
La ambición desmedida es el motor de un esquema pi-
ramidal. La crisis de las pirámides de 2008 en Colombia
mostró una notable presencia de estos esquemas (siendo
los más famosos Proyecciones DRFE y DMG), especial-
mente en los departamentos de Nariño y Putumayo. Pue-
blos enteros fueron afectados, pues muchas de las captado-
ras se escondían bajo figuras legales para inversiones legí-
timas.
El síntoma del virus: el deseo de ganar dinero fácil-
mente, deseo de todos nosotros, fantasía - agravada
por la ignorancia - de que no es tan difícil ganar dine-
ro sin mayor esfuerzo. . . hay personas que explotan
esa ignorancia en beneficio propio [4].
En este trabajo desarrollamos un modelo matemático
que permite estudiar un tipo de esquemas Ponzi. Es im-
portante desarrollar y hacer más accesible la matemática
que describe estos procesos en virtud del alto peligro que
representa para el ciudadano promedio este tipo de frau-
des, especialmente por su alcance a través de la Internet.
No olvidemos el impacto social del caso “Notario Cabre-
ra” de 2005 en Ecuador: hubo suicidios y personas tuvieron
que devolver autos y casas que habían adquirido pensan-
do financiar los pagos con las ganancias de su inversión
piramidal. Ecuatorianos y colombianos llegaron a tomar
préstamos de bancos legalmente constituidos para meter
el dinero en las captadoras financieras. DMG afectó a unas
8000 personas en la ciudad de Pasto, aproximadamente el
5 % de la PEA (población económicamente activa) y a unas
240.000 personas en toda Colombia, aproximadamente el
1 % de PEA (véase [6]).
1.3 Descripción del trabajo
En [1], Artzrouni modela esquemas Ponzi —incluyendo
casos análogos a sistemas de pensiones— mediante una
ecuación diferencial para
L
(
t
)
, el capital real,
L
(
t
+
dt
) =
L
(
t
) (
1
+
η
dt
) +
p
(
t
)
dt
−
W
(
t
)
dt
,
(1)
donde
t
representa el tiempo. Conceptualmente, la estruc-
tura de (1) es la misma que nuestra sucesión de recurrencia
L
k
= (
1
+
η
k
−
1
)
L
k
−
1
+
P
k
,
k
−
W
k
,
véase (16), esto es, el capital real en un instante subsecuen-
te es la suma de tres términos: primero, una expansión por
inversiones legítimas del capital real al instante previo (
η
representa la correspondiente taza nominal); segundo, el
ingreso de dinero fresco,
p
(
t
)
dt
, producto de las captacio-
nes a clientes nuevos; y tercero, una filtración de dinero
producto de retiros que hacen los clientes
W
(
t
)
dt
.
En [1] el estudio tiene al capital real como elemento pri-
mordial; se lo considera continuo en el tiempo lo que im-
pide que se pueda hacer un seguimiento a la situación de
los clientes conforme a su altura en la estructura piramidal.
Por otro lado, nuestro trabajo consiste en un modelo Ponzi
estocástico donde tan importante como el capital real son el
monto robado a los clientes. El estado financiero de la em-
presa captadora y su capital teórico (que define legalmente
el tamaño de la estafa). Adicionalmente, establecemos co-
mo variable de control el cociente del capital real por el
número de clientes que permite hacer un seguimiento a la
salud del sistema.
En la Sección 2 presentamos el modelo general, empe-
zando por los conceptos de momento crítico y punto de
saturación. En la Sección 2.2, se introducen las reglas de
juego de la empresa captadora. En la Sección 2.3 se estudia
el crecimiento del número de clientes, la esencia de un es-
quema piramidal. En la Sección 2.4 se estudian los valores
teóricos de captación y capital. En la Sección 2.5 se plantean
las relaciones para el capital real y el punto de saturación.
En la Sección 2.6 se establece el monto legal de la estafa
y la fórmula de recurrencia para el estado financiero de la
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Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 1(1): 123-133