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Un modelo matemático para esquemas piramidales tipo Ponzi
Analíti a
k
1
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
pirámide. En la Sección 2.7 se establece el monto extraido
del pecunio de los clientes. En la Sección 2.8 se proponen
formulaciones para hacer un seguimiento a la salud y efi-
ciencia del esquema Ponzi.
En la Sección 3 se particulariza las formulaciones de la
Sección 2 a un caso que a pesar de su enorme simplicidad
permite visualizar los alcances perjudiciales de un esque-
ma Ponzi. El algoritmo en seudocódigo para su implemen-
tación computacional es presentado en la Sección 4.
2 El modelo
La empresa captadora juega en un tiempo
t
∈
I
≡
[
0,
T
)
, donde
T
es el instante en que la captadora deja de
funcionar y huye con el dinero de sus clientes. Estimar
T
en base a algún criterio razonable es uno de los objetivos
de nuestro estudio.
Al tiempo
t
∈
I
, denotamos por ˆ
P
(
t
)
al capital teóri-
co total, es decir, la cantidad de dinero que la captadora fi-
nanciera finge tener en sus arcas. En un esquema piramidal
ˆ
P
(
·
)
es una función creciente, es decir:
ˆ
P
(
t
B
)
≥
ˆ
P
(
t
A
)
, para 0
≤
t
A
<
t
B
≤
T
.
El capital teórico total permite establecer el tamaño legal de
la estafa,
D
(
t
)
, es decir, los derechos que tienen los acree-
dores en papeles al tiempo
t
. Como se verá más adelante,
D
(
t
) = (
1
+
i
p
)
·
[
ˆ
P
(
t
)
−
E
(
t
)]
,
para
t
∈
I
,
donde
E
(
t
)
representa la expansión del capital inicial
E
0
al
tiempo
t
∈
I
e
i
p
>
0 es la
taza de retorno
ofrecida por la
captadora para un
período básico de inversión h
∈
(
0,
T
)
, que
puede ser 1 mes, 2 meses, etc. Pero,
¿dónde está el dinero de la pirámide. . . ? Se ha di-
luido, volatilizado en los pagos de intereses y comi-
siones. Hay que tener presente que el valor-dinero
del capital invertido por los clientes se erosiona per-
manentemente, desde el primer minuto. No hay que
perder de vista que la supuesta permanencia (o cre-
cimiento) del capital invertido (capital teórico en el
modelo) sobre el que se paga a los clientes es una fic-
ción, [5].
Para determinar la cantidad de dinero que se ha extraido
de su pecunio a los clientes se define en la Sección 2.7 el
robo pecuniario total
R
(
t
)
,
t
∈
I
.
2.1 Criterios de parada
Establecemos un par de criterios de parada teniendo en
mente que la captadora desea que
T
sea lo más extenso po-
sible en virtud de su relación directa con las ganancias ilí-
citas. El primer criterio de parada se establece en términos
del
estado financiero
,
F
(
t
)
,
t
∈
I
de la captadora.
D
EFINICIÓN
1.
El
punto crítico
T
c
es aquel en que el estado
financiero de la captadora cambia por primera vez de signo, esto
es:
1. F
(
T
c
) =
0
;
2. F
(
t
)
>
0
, para todo t
∈
(
0,
T
c
)
;
3. Si T
0
verifica i) y ii), entonces T
c
≤
T
0
.
El criterio de parada provisto por la Definición 1 tiene
que ver con la posibilidad de que el estado financiero de
la captadora tenga algún tipo de supervisión externa (e.g.
de algún organismo estatal). En los casos de fraude tipo
Ponzi ha sido usual la ausencia o ligereza de este tipo de
control. Más aún, como veremos más adelante, una cap-
tadora puede tener su estado financiero en negativo y, sin
embargo, presentar mucho dinero en caja lo que usualmen-
te lleva a los clientes a pensar que la empresa goza de bue-
na salud. Como consecuencia, la empresa puede continuar
con su fraude por un tiempo adicional hasta que alcanza
su punto de saturación.
D
EFINICIÓN
2.
El
punto de saturación
T
s
es aquel en que el
capital real total
, L
(
t
)
, de la captadora cambia por primera vez
de signo:
1. L
(
T
s
) =
0
;
2. L
(
t
)
>
0
, para todo t
∈
[
0,
T
)
;
3. Si T
0
verifica i) y ii), entonces T
s
≤
T
0
.
O
BSERVACIÓN
1.
Téngase presente que los puntos crítico y de
saturación son variables aleatorias que dependen de los diferentes
parámetros y variables del sistema. Como veremos más adelante,
T
s
tiene que ver con un número insuficiente de nuevos clientes.
2.2 Reglas de juego
La captadora parte con un capital inicial
E
0
>
0 que
suponemos grande: esto genera confianza en los primeros
clientes (la parte superior de la pirámide), factor indispen-
sable para el éxito futuro de la empresa.
En una pirámide no-Ponzi, usualmente un cliente tiene
que reclutar a un cierto número de nuevos clientes para po-
der acceder a la ganancia prometida por la captadora. Por
otro lado, en un esquema Ponzi un cliente no tiene obli-
gación de traer clientes nuevos al sistema de manera que
las velocidades de crecimiento de ˆ
P
(
t
)
y
R
(
t
)
son menores
que en una pirámide no-Ponzi comparable. Por la misma
razón, en términos generales, tanto
T
c
como
T
s
de un es-
quema Ponzi son mayores que sus pares en una pirámide
no-Ponzi.
Nuestra captadora fija la
inversión inicial de un cliente
en
m
>
0, con
0
<
m
<<
E
0
y tal que los potenciales clientes constituyan un gran seg-
mento de la PEA en el área de influencia de la captadora.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 1(1): 123-133
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