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Juan Mayorga - Zambrano
Analíti a
k
1
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Al restringir el capital inicial que puede invertir un cliente
se frena el crecimiento de ˆ
P
(
t
)
y
R
(
t
)
pero se gana en con-
trol, de manera que la captadora disminuye el riesgo de no
poder escapar con las utilidades.
Un cliente tiene derecho a ser parte del club de inverso-
res tanto tiempo como quiera; pero, si se desliga del siste-
ma, se lo tratará como cliente nuevo si quiere reintegrarse:
podrá invertir únicamente
m
.
El período básico de inversión,
h
∈
(
0,
T
)
, es un pará-
metro establecido por la captadora y se mantiene constante
durante su funcionamiento. A un cliente antiguo se le con-
cede la posibilidad de reinvertir un monto no mayor al úl-
timo pago que recibió de parte de la captadora; es decir, si
invierte
s
>
0, al fin del período de inversión puede rein-
vertir hasta
r
·
s
, con
r
=
1
+
i
p
.
La captadora opera de continuo en
[
0,
T
)
pero realiza
captaciones y pagos únicamente en los instantes
t
k
=
kh
,
k
=
0, 1, ...,
K
,
(2)
donde
K
∈
N
es tal que
t
K
≤
T
<
t
K
+
1
; el resto del tiempo
la captadora supuestamente “dedica sus esfuerzos a su tra-
bajo de inversión, para garantizar total seriedad en los pa-
gos a sus clientes y analiza las solicitudes de membresía”
de las personas referidas por clientes antiguos. Por tanto, al
tiempo
t
k
+
1
,
k
=
0, 1, ...,
K
−
1, un cliente recibe
r
= (
1
+
i
p
)
veces el monto invertido al tiempo
t
k
. Estimar
T
c
y
T
s
co-
rresponde entonces a determinar
K
c
y
K
s
de manera que
T
c
=
K
c
·
h
,
T
s
=
K
s
·
h
.
Hasta antes de un cierto
t
k
0
primero se paga y luego se
capta inversiones; esto ayuda a captar clientes en las eta-
pas iniciales de la captadora. Sin embargo, usando como
argumento la asimetría entre el número de clientes nuevos
potenciales con respecto al número de clientes antiguos, se
establece que a partir de
t
k
0
+
1
primero se capta y luego se
paga. Esto permite a la captadora presentar un saldo en ca-
ja positivo hasta antes del punto de saturación.
2.3 Número de clientes
En un tiempo
t
∈
I
, el
número de clientes
está dado por
C
(
t
) =
C
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
donde suponemos que en la arista de la pirámide hay
c
0
clientes, y que al tiempo
t
k
el
número de clientes nuevos
,
c
k
,
es un múltiplo aleatorio de
C
k
−
1
, es decir
c
k
=
N
k
· C
k
−
1
,
k
∈
N
,
(3)
de manera que
C
k
=
k
∑
j
=
0
c
j
,
k
∈
N
∪ {
0
}
.
(4)
Por inducción se prueba, para
k
∈
N
, que
c
k
=
N
k
·
k
−
1
∏
j
=
1
(
1
+
N
j
)
,
C
k
=
k
∏
j
=
1
(
1
+
N
j
)
.
O
BSERVACIÓN
2.
En [1], Artzrouni supone que la rapidez con
que se mueve un fraude piramidal corresponde un crecimiento
exponencial del dinero fresco que entra al sistema,
p
(
t
) =
p
0
e
r
i
t
,
t
≥
0,
(5)
donde r
i
es llamado tasa de inversiones. Nuestra suposición de
crecimiento, (3), corresponde a un crecimiento cuasi-exponencial;
es análoga a (5) pero nos provée mucho más información con
las limitaciones propias de un modelo probabilístico. En efecto,
la densidad p
(
t
)
es solución del problema de valor inicial
(
p
(
t
+
dt
)
−
p
(
t
) =
r
i
p
(
t
)
dt
,
t
≥
0,
p
(
0
) =
p
0
,
en tanto que de (3) y (4) se tiene que
(
C
k
− C
k
−
1
=
N
k
· C
k
−
1
,
k
∈
N
,
C
0
=
c
0
.
O
BSERVACIÓN
3.
Por X
N
µ
,
σ
2
, indicamos que la va-
riable aleatoria X sigue una distribución normal de media
µ
∈
R
y varianza
σ
2
>
0
. Por
Pr
{
X
∈
A
}
denotamos la probabilidad
de que los valores de la variable aleatoria X caigan en la región
medible A
⊆
R
.
El factor de expansión
N
(
t
)
representa el número de
clientes nuevos que son atraidos por un cliente actual; está
dado por
N
(
t
) =
N
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
donde al tiempo
t
k
suponemos que
N
k
N
N
k
,
1
4
,
(6)
de manera que
Pr
[
N
k
−
1
≤
N
k
≤
N
k
+
1
] =
0,9544.
Para la estimación de los valores esperados
N
k
, usamos
un modelo SIR sencillo que permite estudiar la manera en
que se expande una enfermedad en una población como
función del tiempo:
˙
S
=
−
a
S
(
t
)
I
(
t
)
,
˙
I
=
a
S
(
t
)
I
(
t
)
−
b
I
(
t
)
,
S
(
0
) =
1
−
1
U
,
I
(
0
) =
1
U
,
(7)
donde
S
representa la
fracción de la PEA susceptible de ser in-
fectada
por el esquema piramidal e
I
representa la
fracción
de la PEA que está infectada
(y que por tanto puede trans-
mitir la enfermedad). Aquí
U
es el
tamaño de la PEA en la
zona de influencia de la captadora
. Los parámetros
a
y
b
son
126
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 1(1): 123-133