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Un modelo matemático para esquemas piramidales tipo Ponzi
Analíti a
k
1
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
positivos y deben ser estimados a partir de información de
esquemas Ponzi concretos. Entonces ponemos
C
k
=
I
(
t
k
)
· U
,
k
∈
N
∪ {
0
}
y hallamos
N
k
, usando las relaciones (3) y (4), es decir,
N
k
=
C
k
C
k
−
1
−
1,
k
∈
N
,
(8)
donde, por simplicidad, suponemos que las variables alea-
torias
N
k
y
C
k
−
1
son independientes.
2.4 Capital y captación teóricos
La
captación teórica
al tiempo
t
k
a los clientes que ingre-
saron al sistema al tiempo
t
j
es el valor que ve un cliente en
su cuenta piramidal (análoga a una cuenta bancaria). Está
dada por
P
k
,
j
=
m
·
p
k
,
j
,
(9)
donde la
matriz de captaciones
(adimensional)
(
p
k
,
j
)
∈ M
K
s
,
está dada por
p
k
,
j
=
0,
si
j
>
k
,
c
k
,
si
j
=
k
,
p
k
−
1,
j
·
(
1
−
ω
k
,
j
)(
1
+
i
p
)
, si
j
<
k
.
(10)
Aquí
ω
k
,
j
es una variable aleatoria que modela la
taza de
retiro
del capital al tiempo
t
k
por parte de los clientes que
ingresaron al sistema al tiempo
t
j
. Cuando
k
>
j
, se tiene
entonces que
p
k
,
j
=
c
j
(
1
+
i
p
)
k
−
j
k
−
j
−
1
∏
l
=
0
(
1
−
ω
k
−
l
,
j
)
.
(11)
La
captación teórica total
está dada por
P
(
t
) =
P
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(12)
donde,
P
k
=
k
∑
j
=
0
P
k
,
j
.
Para la taza de retiro se supone que
ω
k
,
j
N
(
ω
k
,
j
,
σ
2
1
)
,
donde 0
<
σ
1
<<
1. Se tiene que
Pr
[
ω
k
,
j
−
2
σ
1
≤
ω
k
,
j
≤
ω
k
,
j
+
2
σ
1
] =
0,9544.
El valor esperado está dado por interpolación:
ω
k
,
j
=
(
(
k
−
j
)[
α
(
k
−
j
) +
β
]
, si
k
−
j
≤
d
1
,
ω
∗
,
si
k
−
j
>
d
1
,
(13)
con
α
=
d
1
ω
∗
−
d
0
ω
∗
d
1
d
2
0
−
d
0
d
2
1
,
β
=
d
2
0
ω
∗
−
d
1
ω
∗
d
1
d
2
0
−
d
0
d
2
1
,
ω
∗
=
i
p
i
p
+
1
.
Como se puede ver en (13), el valor medio de la taza de re-
tiros al tiempo
t
k
de los clientes que ingresaron al sistema
al tiempo
t
j
depende exlusivamente del tiempo de perma-
nencia en el sistema; esto queda determinado por el factor
d
=
k
−
j
. Los coeficientes
α
y
β
están determinados por
los puntos
(
d
0
,
ω
∗
)
y
(
d
1
,
w
∗
)
que representan los valores
esperados, respectivamente, de la primera instancia en que
el retiro se vuelve significativo y de la primera instancia en
que se retira toda la ganancia.
O
BSERVACIÓN
4.
La hipótesis (13) fue motivada por la expe-
riencia observada en el sur de Colombia, donde un gran número
de personas dejaron eventualmente de trabajar para vivir exclu-
sivamente de las ganancias jugosas que les proveían los esquemas
piramidales.
Denotamos por
η
k
la
tasa nominal
en que realmente es
invertido el dinero existente en el sistema al tiempo
t
+
k
. Es-
tos réditos son legítimamente obtenidos. En virtud de las
fluctuaciones del mercado (en una economía estable), es
coherente suponer que para cada
k
,
η
k
N
(
η
,
σ
2
2
)
,
donde 0
<
η
<<
i
p
y 0
<
σ
2
<<
1. Se tiene, para cada
k
,
que
Pr
[
η
−
2
σ
2
≤
η
k
≤
η
+
2
σ
2
] =
0,9544.
El
capital teórico total
está dado entonces por
ˆ
P
(
t
) =
P
(
t
) +
E
(
t
)
,
(14)
E
(
t
) =
E
0
k
−
1
∏
l
=
0
(
1
+
η
l
)
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(15)
donde
E
(
t
)
representa la
expansión del capital inicial E
0
.
2.5 Capital real y punto de saturación
El
capital real
está dado por
L
(
t
) =
L
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
donde
(
L
0
=
E
0
+
m c
0
,
L
k
= (
1
+
η
k
−
1
)
L
k
−
1
+
P
k
,
k
−
W
k
(16)
En (16),
(
1
+
η
k
−
1
)
L
k
−
1
es el producto de inversiones legí-
timas,
P
k
,
k
=
mc
k
es el dinero fresco que entra al sistema y
W
k
el
total de retiros
en
t
k
:
(
W
k
=
m
·
w
k
,
w
k
= (
1
+
i
p
)
∑
k
−
1
j
=
0
ω
k
,
j
p
k
−
1,
j
.
(17)
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 1(1): 123-133
127