Versión de HTML Básico
Juan Mayorga - Zambrano
Analíti a
k
1
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Para futura referencia ponemos
W
(
t
) =
W
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
.
P
ROPOSICIÓN
1.
El paso de saturación, K
s
está definido por el
primer entero positivo k que verifica las desigualdades
(
c
k
−
w
k
≥ −
(
1
+
η
k
−
1
)
λ
k
−
1
,
c
k
−
w
k
<
−
(
1
+
η
k
−
1
)
λ
k
−
1
,
(18)
donde, para cada k
∈
N
∪ {
0
}
,
λ
k
=
L
k
/
m
.
Demostración.
Úsense (16) (10) y (17).
La Proposición 1 establece que el punto de satura-
ción queda determinado por cantidades adimensiona ˙les.
En efecto, es claro que
(
λ
0
=
γ
+
c
0
,
λ
k
= (
1
+
η
k
−
1
)
λ
k
−
1
+
c
k
−
w
k
,
donde
γ
=
E
0
/
m
(19)
es el
capital inicial relativo
, que mide el tamaño del capital
inicial en términos de la inversión base
m
.
O
BSERVACIÓN
5.
Para estimar T
s
y su distribución probabilís-
tica debe efectuarse un número suficiente de simulaciones. En un
juego concreto de la captadora, al instante t
k
−
1
, el lado derecho de
las desigualdades (18) es conocido en tanto que el lado izquierdo
se puede estimar. Por tanto, desde el punto de vista del estafador,
el momento de huir con los dineros de los clientes es T
∗
=
h
·
k
∗
,
donde k
∗
es el primer entero positivo tal que
c
k
+
1
−
w
k
+
1
<
−
(
1
+
η
k
)
λ
k
,
donde c
k
+
1
=
C
k
+
1
− C
k
, k
=
0, 1, 2, ...
2.6 Deudas y estado financiero
En términos generales, la deuda de un cliente en parti-
cular es igual a la captación teórica correspondiente expan-
dida por la tasa de retorno. Entonces, la deuda al tiempo
t
k
a los clientes que ingresaron al sistema al tiempo
t
j
está
dada por
D
k
,
j
=
(
0,
si
j
>
k
,
(
1
+
i
p
)
·
P
k
,
j
, si
j
≤
k
.
(20)
La
deuda total
a los clientes corresponde al tamaño legal de
la estafa, está dada por
D
(
t
) =
D
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
donde
D
k
= (
1
+
i
p
)
·
P
k
,
k
∈
N
.
(21)
El
estado financiero
en
t
k
está dado por el estado finan-
ciero en
t
k
−
1
menos el monto de deudas contraidas y más
el producto de inversiones legítimas en
[
t
k
−
1
,
t
k
)
, es decir
(
F
0
=
E
0
−
i
p
m c
0
,
F
k
=
F
k
−
1
−
P
k
i
p
+
η
k
−
1
L
k
−
1
,
k
∈
N
.
(22)
P
ROPOSICIÓN
2.
El paso crítico K
c
es el primer entero positivo
k que verifica
(
γ
≥
v
k
,
γ
<
v
k
+
1
,
(23)
donde,
v
k
=
i
p
k
∑
j
=
0
p
j
−
k
−
1
∑
j
=
0
η
j
λ
j
,
k
∈
N
.
Demostración.
Usando (22) y (11), se obtiene
F
k
=
E
0
−
m
·
v
k
, y se concluye por (19).
O
BSERVACIÓN
6.
De (23) es claro que T
c
y
γ
son directamen-
te proporcionales y es de interés establecer via simulaciones la
relación de regresión que los vincula.
2.7 Robo pecuniario
El
robo pecuniario
a un cliente es la diferencia entre su
primera inversión y el total de retiros hasta que se retira
del sistema o hasta que la captadora deja de funcionar. En-
tonces, el
robo pecuniario total
está dado por
R
(
t
) =
R
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
donde
R
k
=
k
∑
j
=
0
U
j
,
k
(
t
)
,
(24)
donde
U
j
,
k
(
t
) =
m
·
0,
si
j
>
k
,
c
k
,
si
j
=
k
,
c
j
−
∑
k
l
=
j
+
1
ω
l
,
j
·
p
l
,
j
, si
j
<
k
.
es el robo pecuniario al tiempo
t
k
a los clientes que ingre-
saron al tiempo
t
j
.
P
ROPOSICIÓN
3.
Se tiene, para t
∈
I, que
m
C
(
t
)
−
W
(
t
) =
R
(
t
)
≤
D
(
t
)
,
(25)
donde m
C
(
t
)
es la
captación real total
, es decir, el total de dinero
fresco que ingresó al sistema.
La demostración es simple y la dejamos al lector.
128
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 1(1): 123-133