Versión de HTML Básico
Un modelo matemático para esquemas piramidales tipo Ponzi
Analíti a
k
1
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
2.8 Eficiencia, control y monto total de retiros
En nuestro modelo
L
(
t
)
crece a un ritmo cuasi-
exponencial pero tal crecimiento es compensado a su vez
por el crecimiento del número total de clientes de mane-
ra que para hacer un seguimiento al deterioro del sistema
piramidal es importante considerar el
capital promedio
:
L
(
t
) =
L
(
t
)
C
(
t
)
.
(26)
Se tiene entonces que el valor esperado del capital prome-
dio, E
[
L
(
t
)]
, es una función decreciente en
[
0,
T
s
]
y
E
[
L
(
T
s
)] =
0.
(27)
La
efectividad del sistema
,
E
(
t
)
, se define como el cociente
entre la ganancia real y el monto total de retiros, pues mi-
de, a cada instante, cuántas veces se ha multiplicado cada
unidad monetaria pagada a los clientes. Entonces
E
(
t
) =
L
(
t
)
−
E
0
W
(
t
)
=
λ
(
t
)
−
γ
w
(
t
)
,
(28)
donde
w
(
t
) =
W
(
t
)
/
m
.
3 Una simplificación interesante
Consideramos un caso particular del modelo presenta-
do en la Sección 2. Esta simplificación permite ver el rápido
crecimiento de un esquema Ponzi y verificar que una cap-
tadora puede tener un estado financiero negativo cuando
tiene mucho dinero en caja, es decir un capital real positi-
vo. Por otro lado, esta simplificación no permite determi-
nar
T
s
pues asume que la población de clientes potenciales
es infinita.
3.1 Formulaciones
Como parte del juego de engaño, se establece un cu-
po de clientes nuevos que puede traer consigo un cliente
antiguo. Un altísimo valor de
i
p
impulsa la ambición por
dinero fácil (de potenciales clientes nuevos) que combina-
da con un sentimiento mal orientado de solidaridad (de los
clientes actuales e.g. para con familiares, amigos, etc.) pro-
voca que el cupo mencionado sea comunmente usado al
máximo. Suponemos entonces que
N
k
es constante e igual
a
n
∈
N
,
k
∈
N
. En este caso,
c
k
=
n
(
1
+
n
)
k
−
1
,
k
∈
N
,
(29)
C
k
= (
1
+
n
)
k
,
k
∈
N
∪ {
0
}
.
(30)
En
t
k
el sistema paga sus deudas y un cliente satisfe-
cho decide reinvertir casi totalmente en el sistema; esto tie-
ne sustento en que el monto pecuniario arriesgado es el
mismo que en su primera inversión. Suponemos entonces
que la taza de retiro
ω
k
,
j
es constante e igual a un valor
0
<
ω
<<
1.
O
BSERVACIÓN
7.
Este tipo de suposición se usó en [1] en el
contexto del modelo a tiempo continuo (1); si bien no es realista,
ayuda a describir el proceso que sigue un esquema Ponzi.
La matriz de captaciones está dada por
p
k
,
j
=
(
0,
si
j
>
k
,
n
(
1
+
n
)
j
−
1
ˆ
r
k
−
j
, si
j
≤
k
,
(31)
donde
ˆ
r
= (
1
−
ω
)(
1
+
i
p
)
.
La captación teórica total está determinada por
P
k
=
m
ˆ
r
k
+
n
k
∑
j
=
1
ˆ
r
k
−
j
(
1
+
n
)
j
−
1
!
,
k
∈
N
(32)
Suponemos que existe estabilidad económica de ma-
nera que las fluctuaciones de la tasa nominal son despre-
ciales: consideramos que para cada
k
,
η
k
es una constante
η
pequeña en comparación con
i
p
. Sin embargo, no debe
perderse de vista que la aparición del fenómeno piramidal
afecta fuertemente a las economías locales (como en los ca-
sos de Colombia y Ecuador en 2008) y puede también afec-
tar a naciones enteras (como el caso de Albania en 1997).
Se tienen las siguientes fórmulas
E
k
=
E
0
·
(
1
+
η
)
k
,
k
∈
N
,
(33)
L
k
= (
1
+
η
)
L
k
−
1
+
P
k
,
k
−
W
k
,
k
∈
N
,
(34)
W
k
= (
1
+
i
p
)
wP
k
−
1
,
k
∈
N
,
(35)
v
k
=
i
p
k
∑
j
=
0
p
j
−
η
k
−
1
∑
j
=
0
λ
j
.
(36)
El robo pecuniario queda determinado por
U
j
(
t
) =
m
·
0,
si
j
>
k
,
c
k
,
si
j
=
k
,
c
j
−
ω
·
∑
k
l
=
j
+
1
p
l
,
j
, si
j
<
k
.
(37)
En está versión simplificada no existe punto de satura-
ción de manera que la relación (27) no tiene sentido. Sin
embargo, se tiene la siguiente
P
ROPOSICIÓN
4.
Si n
>
ˆ
r, entonces existe
b
L ∈
R
tal que
0
<
l´ım
k
→
∞
L
(
t
k
) =
b
L
<
m
.
(38)
Demostración.
Úsense (30) y (34).
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 1(1): 123-133
129