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Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
las estrategias, los valores siguiente:
•
Estrategia Optimal:
J
(
W
) =
0,0241652 con el interva-
lo de confianza a 95 %:
[
0,0229925, 0,0253379
]
.
•
Estrategia 100 % activo:
J
(
W
) =
0,0222985 con el in-
tervalo de confianza a 99 %:
[
0,0200036,
o
0,0245934
]
.
•
Estrategia 100 % banco:
ϑ
(
W
) =
0,0208986. (riesgo
nulo).
•
Estrategia AB, se inicializa
π
en su valor optimal, es
decir, 0,5 y si el activo está en alza entonces com-
pra
+
10 % y si está en baja entonces venta
−
10 %:
J
(
W
) =
0,0215585 con el intervalo de confianza a
99 %:
[
0,0201802, 0,0229368
]
•
Estrategia consumo constante (tasa 80 %):
J
(
W
) =
−
0,5996940 con el intervalo de confianza a 99 %:
[
−
0,6000592,
−
0,5993287
]
.
AB Alza + 10% / Baja −10%
Activo 100%
Estrategia Optimal
Banco
0.020
0.021
0.022
0.023
0.024
0.025
0.026
0.019
Figura 3.
Intervalos de confianza para los resultados numéricos.
Est Figura da idea de la eficacia comparada entre las diferentes
estrategias. Fuente: Elaboración propia
Los intervalos de confianza se encuentran representa-
dos en la Figura 3. Se puede ver que una estrategia que si-
gue los movimientos del activo (Activo 100 %) puede even-
tualmente vencer la estrategia optimal, pero su riesgo (su
varianza) es bastante elevada. Finalmente se nota que en
promedio la estrategia optimal vence las dos estrategias
“extremas”: 100 % banco y 100 % acción. Lo que verifica los
cálculos.
A continuación se presentan ciertos temas necesarios
para la mejor comprensión del artículo como: definiciones,
teoremas útiles y discusiones sobre algunos temas tratados.
A Nociones de economía
A.1 Optimización
Criterio de esperanza de utilidad.-
Este criterio reposa so-
bre una teoría de elección en un universo de incertidumbre,
un individuo compara sus ingresos aleatorios de los cuales
conoce las leyes de probabilidad. Bajo ciertas condiciones
sobre sus preferencias, Von Neuman y Morgenstern mues-
tran que éstas se pueden representar mediante la esperanza
de una función, de utilidad y notada
U
.
De esta manera, un ingreso aleatorio
X
será preferido a
un ingreso aleatorio
X
′
si
E
[
U
(
X
)]
≥
E
[
U
(
X
′
)]
. Esta fun-
ción de utilidad es creciente lo que expresa el gusto por la
riqueza del individuo (ver la siguiente sección).
En el caso estudiado, este criterio consiste en maximi-
zar la esperanza de utilidad de la riqueza terminal a un
horizonte
T
<
+
∞
, es decir,
sup
α
E
[
U
(
X
T
)]
.
(27)
Criterio media - varianza.-
Este criterio reposa sobre
la hipótesis de que las preferencias del individuo depen-
den solamente de la media y de la varianza de sus ingresos
aleatorios. Para expresar la aversión al riesgo el criterio se
interesa en los portafolios Media-Varianza eficaces, es de-
cir, minimizando la varianza para una esperanza dada
´ınf
α
{
Var
[
X
t
]
:
E
[
X
T
] =
m
}
.
Se puede demostrar que este problema es equivalente al
problema (27) para la función de utilidad
U
(
x
) =
λ
−
x
2
,
x
∈
R
.
A.2 Aversión al riesgo y función valor
La aversión al riesgo es la actitud de un agente hacia la
tenencia de activos con riesgo en su portafolio. Un agente
con mayor aversión al riesgo demandará una prima (re-
torno o beneficio) mayor cuando considere que un instru-
mento posee alto riesgo. La aversión al riesgo es general-
mente integrada por un agente mediante la concavidad de
su función de utilidad.
En economía, es de uso común utilizar una función del
tipo siguiente (ver [7, página 152])
U
(
c
) =
1
γ
c
γ
,
x
≥
0,
−
∞
,
x
<
0,
(28)
conocida como
función isoelástica de utilidad
y sirve para
expresar la utilidad en función del consumo de un agente.
La función escogida
u
(
c
) =
log
(
c
)
es el límite de la fun-
ción
U
presentada en (28). En efecto, una constante aditiva
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
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