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Eduardo Cepeda
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
no afecta las condiciones de optimalidad, se resta la cons-
tante
1
γ
a la función
U
, tomando el límite cuando
γ
tiende
a cero y se obtiene:
l´ım
γ
→
0
c
γ
−
1
γ
=
u
(
c
)
.
La función isoelástica es también conocida como CRRA
(Constant Relative Risk Aversion) puesto que es la única
que posee un índice de
aversión al riesgo
constante e igual a
−
x
U
′′
(
x
)
U
′
(
x
)
=
1
−
γ
.
A.2.1 Sobre la función valor
La interpretación de la función valor
ϑ
en (1) es muy
simple. Se toma los instantes 0
<
t
1
<
t
2
<
· · ·
<
t
n
<
T
tales que
t
i
−
t
i
−
1
=
T
n
,
n
>
1, se tiene para la media geo-
métrica
T
log
(
C
t
1
× · · · ×
C
t
n
)
1
n
=
T
n
n
∑
i
=
1
log
(
C
t
i
)
=
n
∑
i
=
1
log
(
C
t
i
)(
t
i
−
t
i
−
1
)
−→
n
→
+
∞
Z
T
0
log
(
C
t
)
dt
.
Lo que demuestra que, en cierto sentido, la función
ϑ
esco-
gida es equivalente a la maximización de la media geomé-
trica del consumo. Todas las condiciones necesarias para
dar un sentido a esta integral son dadas y verificadas en la
Sección 4.3.
B Procesos estocásticos y cálculo esto-
cástico
En esta sección se presenta varios puntos de la teoría de
procesos estocásticos necesarios para la comprensión del
artículo (ver [6, 11]).
B.1 Proceso Estocástico
Es un modelo matemático de un fenómeno que evo-
luciona en el tiempo de manera aleatoria. La aleatoriedad
es expresada mediante la introducción de un espacio me-
dible
(
Ω
,
F
)
, en el cual una medida de probabilidad
P
puede ser definida. Las posibles realizaciones o resultados
del fenómeno toman sus valores en un segundo espacio
medible
(
S
,
S
)
llamado
espacio de estado
. Para los propó-
sitos de este artículo el espacio de estado será el espacio
euclidiano
R
dotado de su
σ
-álgebra boreliana, es decir,
(
S
,
S
) = (
R
,
B
(
R
))
. A continuación, se tiene la definición
formal de proceso estocástico:
D
EFINICIÓN
2.
Sean T un conjunto de índices (usualmente
T
=
R
+
o
N
),
(
Ω
,
F
,
P
)
un espacio de probabilidad. Un
proceso estocástico X es un conjunto de
funciones medibles
X
t
:
(
Ω
,
F
,
P
)
−→
(
R
,
B
(
R
))
donde t
∈
T.
Para un punto fijo
ω
∈
Ω
la función
t
7
→
X
t
(
ω
)
;
t
≥
0 es
la
trayectoria
del proceso
X
asociado a
ω
. Este es el modelo
matemático para un experimento aleatorio cuyos resulta-
dos pueden ser observados continuamente en el tiempo.
Por razones técnicas de la teoría de integración de Le-
besgue, las medidas de probabilidad son definidas sobre
σ
-
álgebras y las variables aleatorias son definidas como me-
dibles respecto a estas
σ
-álgebras. La definición dada, pre-
cedentemente, asegura que para un
ω
∈
Ω
fijo,
X
t
(
ω
)
es
una variable aleatoria para todo
t
≥
0. Sin embargo,
X
es
en realidad una función de una pareja de variables
(
t
,
ω
)
y,
por razones técnicas, es conveniente tener una propiedad
de medibilidad conjunta, es decir, la aplicación
(
t
,
ω
)
7
→
X
(
t
,
ω
)
:
([
0,
+
∞
)
×
Ω
,
B
([
0,
+
∞
))
⊗
F
)
−→
(
R
,
B
(
R
))
,
es medible. Los procesos estocásticos que cumplen con esta
propiedad son llamados
procesos estocásticos medibles
.
B.2 Filtraciones
La característica temporal de un proceso estocástico su-
giere un paso del tiempo, respecto al cual, en cada mo-
mento
t
≥
0 se habla de
pasado, presente
y
futuro
. Así, un
observador del proceso estocástico podría preguntarse en
un instante dado
t
cuánto conoce del proceso comparado
a otro instante del pasado
s
≤
t
o conocerá en un instante
del futuro
r
≥
t
.
D
EFINICIÓN
3.
Sea
F
una
σ
-álgebra, una
filtración
es una fa-
milia no-decreciente
{
F
t
}
de sub-
σ
-álgebras de
F
:
F
s
⊂
F
t
⊂
F
para s
<
t
<
+
∞
, se define
F
∞
:
=
σ
(
S
t
≥
0
F
t
)
.
Además, dado un proceso estocástico X, la elección más sim-
ple de una filtración es la generada por el proceso mismo, es decir,
F
X
t
:
=
σ
(
{
X
s
:
s
≤
t
}
)
,
la más pequeña
σ
-álgebra respecto a la cual X
s
es medible para
todo s
∈
[
0,
t
]
.
F
X
t
es llamada
filtración natural de
X.
De esta manera,
A
∈
F
X
t
significa que para un instante
t
≥
0 un observador de
X
sabe si
A
ha ocurrido o no.
D
EFINICIÓN
4
(
Proceso estocástico adaptado
)
.
El proceso
estocástico X es adaptado a la filtración
{
F
t
}
si, para todo t
≥
0
,
X
t
es una variable aleatoria
F
t
-medible.
Evidentemente, el proceso esocástico
X
es adaptado a
su filtración natural
F
X
.
46
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51