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Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
B.3 Martingalas y Movimiento Browniano
D
EFINICIÓN
5.
Un proceso estocástico X
F
-adaptado es una
martingala respecto a
F
si
(i)
E
[
|
X
t
|
]
<
+
∞
para todo t
≥
0
;
(ii)
E
[
X
t
|
F
s
] =
X
s
c.s. para toda pareja s y t tal que s
≤
t.
Un ejemplo de proceso estocástico, que es una martin-
gala, es el movimiento browniano.
D
EFINICIÓN
6
(Movimiento Browniano Estándar)
.
Un mo-
vimiento browniano estándar unidimensional sobre
[
0,
+
∞
)
es
un proceso estocástico continuo a valores en
R
,
(
B
t
)
t
≥
0
tal que
(i) B
0
=
0
;
(ii) para todos
0
≥
s
<
t, el incremento B
t
−
B
s
es in-
dependiente de
σ
(
B
u
,
u
≤
s
)
y sigue una ley normal
N
0,
√
t
−
s .
En la definición de movimiento browniano estándar; la
independencia de los incrementos de
B
es respecto a la fil-
tración natural
F
B
s
=
σ
(
B
u
,
u
≤
s
)
de
B
. La filtración natu-
ral de
B
es llamada “filtración browniana”.
C Fórmula de Itô e integración esto-
cástica
Esta sección ha sido inspirada por [1, 9] y presenta una
introducción minimal a la integración estocástica; sin em-
bargo, es adaptada para los temas tratados en este artículo.
Para profundizar los conocimientos sobre el tema el lector
puede dirigirse a [4, 10].
En finanzas, una estrategia de inversión sobre un activo
S
en tiempo discreto es un conjunto de decisiones
(
α
i
)
i
∈
N
tomadas cada cierto intervalo de tiempo en función del va-
lor del activo. Así, el valor del portafolio determinado por
el activo y la estregia sobre él tiene el valor siguiente en
t
n
V
t
n
=
V
0
+
n
∑
i
=
i
α
i
S
t
i
−
S
t
i
−
1
En tiempo continuo el curso del activo
S
es modelado
como una función del movimiento browniano y el objeti-
vo es generalizar la última fórmula con la ayuda de una
integral del tipo
R
t
0
α
s
dS
s
. Ahora bien, una de las propie-
dades del movimiento browniano es que casi seguramente
sus trayectorias no son derivables en todo punto. Dicho de
otra manera, si
B
t
es un movimiento browniano, no existe
t
∈
R
+
tal que
dB
t
dt
tenga sentido, lo que no permite, por
ejemplo, definir la integral como
Z
f
(
t
)
dB
t
=
Z
f
(
t
)
dB
t
dt
dt
.
Evidentemente, se presenta el mismo problema con
dS
t
=
d f
(
B
t
)
. Sin embargo, es posible dar un sentido a éstas inte-
grales respecto al movimiento browniano, y se las llamará
“integrales estocásticas”.
C.1 Construcción de la integral estocástica
Sea
(
B
t
)
t
≥
0
un
F
-movimiento browniano sobre un es-
pacio probabilizado (dotado de una medida de probabili-
dad) y
F
-filtrado
(
Ω
,
F
,
P
,
)
. El objetivo es dar un sentido
a
R
t
0
f
(
s
,
ω
)
dB
s
para una clase de procesos
f
(
s
,
ω
)
adapta-
dos a
F
. La construcción comienza con la definición de la
integral sobre el conjunto de procesos “en escalera” o “ele-
mentales” para después extenderlo a una clase más rica de
procesos.
Sea
ϕ
un proceso en escalera integrable e igual a
ϕ
=
n
−
1
∑
i
=
0
α
i
1
]
t
i
,
t
i
+
1
]
,
definimos la integral estocástica
I
(
ϕ
)
de
ϕ
de la siguiente
manera:
Z
ϕ
(
t
)
dB
t
:
=
n
−
1
∑
i
=
0
α
i
B
t
i
+
1
−
B
t
i
.
(29)
La variable aleatoria
I
(
ϕ
)
definida de esta manera es una
combinación lineal a coeficientes aleatorios de variables
aleatorias gaussianas independientes.
I
(
ϕ
)
no es necesaria-
mente una variable aleatoria gaussiana, sin embargo, sus
momentos de orden 1 y 2 satisfacen propiedades remarca-
bles.
L
EMA
2.
Sea
ϕ
un proceso en escalera integrable y de cuadrado
integrable. Se tiene:
E
Z
ϕ
(
t
)
dB
t
=
0,
y
E
"
Z
ϕ
(
t
)
dB
t
2
#
=
E
Z
ϕ
2
(
t
)
dt
.
(30)
Gracias al teorema siguiente, se extiende la definición
de integral estocástica a cualquier proceso en el espacio
H
2
=
(
ϕ
(
t
))
t
≥
0
procesos adapatados a
F
:
E
Z
ϕ
2
(
t
)
dt
<
+
∞
.
T
EOREMA
2.
Sea B un movimiento browniano estándar respec-
to a una filtración
F
. A todo proceso estocástico
ϕ
∈
H
2
, se
asocia de manera única una variable aleatoria de cuadrado inte-
grable,
R
ϕ
(
t
)
dB
t
tal que
E
Z
ϕ
(
t
)
dB
t
=
0;
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
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