Versión de HTML Básico
Eduardo Cepeda
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
y
E
"
Z
ϕ
(
t
)
dB
t
2
#
=
E
Z
ϕ
2
(
t
)
dt
,
que coincide para los procesos estocásticos en escalera con
∑
n
−
1
i
=
0
X
i
[
B
t
i
+
1
−
B
t
i
]
.
C.1.1 La integral estocástica como proceso
Como para la integración determinista,
es posible aso-
ciar un proceso a una integral estocástica de un proceso
ϕ
que vive en
H
2
.
Se notará
I
t
(
ϕ
)
:
=
I
(
1
]
0,
t
[
ϕ
)
:
=
Z
t
0
ϕ
(
s
)
dB
s
.
El objetivo de esta sección es presentar las propiedades del
proceso estocástico
(
I
t
(
ϕ
))
t
≥
0
.
T
EOREMA
3.
Sea
ϕ
∈
H
2
,
(
I
t
(
ϕ
))
t
∈
[
0,
T
]
es un proceso esto-
cástico de trayectorias continuas, adaptado y tal que para toda
función aleatoria (es decir, un proceso estocástico visto como una
función del tiempo) h
A
(
s
) =
1
A
1
]
u
,
v
]
(
s
)
, A
∈
F
u
se tiene
Z
t
0
1
A
1
]
u
,
v
]
(
s
)
ϕ
(
s
)
dB
s
=
1
A
Z
m´ın
{
t
,
v
}
m´ın
{
t
,
u
}
ϕ
(
s
)
dB
s
.
Todas las propiedades se obtienen gracias a la aproxi-
mación mediante procesos en escalera, a excepción de la
continuidad de las trayectorias que es mostrada mediante
la
desigualdad maximal
, esta propiedad es fundamental para
la integración estocástica, pues permite demostrar no so-
lamente la continuidad sino también varios resultados de
convergencia.
P
ROPOSICIÓN
2
(Desigualdad maximal)
.
Para todo proceso
estocástico
(
I
t
(
ϕ
))
t
∈
[
0,
T
]
con
ϕ
∈
H
2
se tiene
E
sup
u
∈
[
0,
t
]
Z
u
0
ϕ
(
s
)
dB
s
!
2
≤
4
E
"
Z
T
0
ϕ
(
s
)
dB
s
2
#
=
4
E
Z
T
0
ϕ
2
(
s
)
ds
.
Gracias al principio de simetría del movimiento brow-
niano:
∀
y
≥
0,
P
sup
t
≤
T
B
t
≥
y
=
P
(
|
B
t
| ≥
y
)
(es decir,
para cada
T
≥
0, sup
t
≥
T
B
t
y
|
B
T
|
tienen la misma ley), se
puede deducir una estimación exacta
E
sup
u
≤
T
B
u
!
2
=
E
h
(
B
T
)
2
i
=
T
.
(31)
T
EOREMA
4
(Propiedad de Martingalas)
.
Sea
ϕ
∈
H
2
, el
proceso estocástico continuo, adaptado e integrable
(
I
t
(
ϕ
))
t
≥
0
,
es una martingala.
C.2 Cálculo de Itô
Ahora, se inserta un “cálculo diferencial” sobre las inte-
grales definidas anteriormente, llamado “Cálculo de Itô” y
cuya herramienta principal es la “fórmula de Itô”.
Se inicia con la definición de la clase de procesos sobre
los cuales se puede utilizar la fórmula de Itô. Se dará las
condiciones mínimas necesarias para su buena definición.
D
EFINICIÓN
7
(Procesos de Difusión o de Itô)
.
Sean
(
Ω
,
F
,
P
)
, un espacio probabilizado dotado de una filtración y
(
B
t
)
t
≥
0
un
F
-movimiento browniano. Llamaremos
Proceso de
Itô o de difusión
, un proceso
(
X
t
)
t
≥
0
a valores en
R
tal que
P
c
.
s
.
∀
t
≥
0,
X
t
=
X
0
+
Z
t
0
K
s
ds
+
Z
t
0
Hs dB
s
,
(32)
donde
- X
0
es
F
0
-medible.
-
(
K
t
)
t
≥
0
y
(
H
t
)
t
≥
0
son procesos
F
-adaptados.
-
R
t
0
|
K
s
|
ds
<
+
∞
∀
t
≥
0
P
-c.s.
-
E
h
R
t
0
|
H
s
|
2
ds
i
<
+
∞
∀
t
≥
0
, i.e., K
∈
H
2
.
T
EOREMA
5
(Fórmula de Itô)
.
Sea
(
X
t
)
t
≥
0
un proceso de Itô
(definido mediante la fórmula (32)) y
(
t
,
x
)
7
→
f
(
t
,
x
)
una fun-
ción C
1,2
, es decir, dos veces diferenciable en x y una en t y de
derivadas continuas. Se consigue
f
(
t
,
X
t
) =
f
(
0,
X
0
) +
Z
t
0
f
′
t
(
s
,
X
s
)
ds
+
Z
t
0
f
′
x
(
s
,
X
s
)
dX
s
+
1
2
Z
t
0
f
′′
xx
(
s
,
X
s
)
d
h
X
,
X
i
s
,
(33)
donde, por definición
h
X
,
X
i
s
=
Z
t
0
H
2
s
ds
,
y
Z
t
0
f
′
x
(
s
,
X
s
)
dX
s
=
Z
t
0
f
′
x
(
s
,
X
s
)
K
s
ds
+
Z
t
0
f
′
x
(
s
,
X
s
)
Hs dB
s
.
P
ROPOSICIÓN
3
(Fórmula de integración por partes)
.
Sean
X
t
e Y
t
dos procesos de Itô
X
t
=
X
0
+
Z
t
0
K
s
ds
+
Z
t
0
H
s
dBs
,
y
Y
t
=
Y
0
+
Z
t
0
K
′
s
ds
+
Z
t
0
H
′
s
dBs
.
Entonces
X
t
Y
t
=
X
0
Y
0
+
Z
t
0
X
s
dY
s
+
Z
t
0
Y
s
dX
s
+
h
X
,
Y
i
t
con la convención:
h
X
,
Y
i
t
=
Z
t
0
H
s
H
′
s
ds
.
48
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51