Versión de HTML Básico
Portafolio de consumo: problema de Merton
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
D Modelo de Black y Scholes
En 1900, Louis Bachelier introdujo el movimiento brow-
niano para modelizar la dinámica de los precios de las ac-
ciones en la Bolsa. Su “Teoría de la especulación” (su tesis
doctoral defendida en la Sorbonne), es el primer ladrillo de
las finanzas modernas. En 1905, Albert Einstein construye
un modelo probabilístico para una partícula en difusión,
encontrando la ley de probabilidad para la posición de tal
partícula.
En los años 60 el trabajo de Bachelier fue retomado y, en
los últimos 40 años los mercados financieros experimentan
una revolución de gran amplitud. La actividad financiera
se desarrolla a través de un cierto número de instrumen-
tos que tienen como objetivo la repartición del riesgo de un
mercado determinado, riesgo que nace de las variaciones
de las tasas de cambio de divisas, de las tasas de interés o
de factores económicos que se escapan del control de los
participantes de este mercado.
La gran variabilidad de los precios de estos instrumen-
tos o parámetros condujeron de manera natural a esta ne-
cesidad de transferir el riesgo. Los bancos juegan un papel
importante en esta transformación proponiendo productos
financieros que serán llamados
productos derivados
. Actual-
mente, es primordial observar la importancia de las herra-
mientas del cálculo estocástico sin las cuales el
business
de
los seguros y riesgos financieros no podría haberse desa-
rrollado como lo ha hecho y los mercados financieros no
habrían podido ganar la importancia se poseen ahora.
Un ejemplo de producto derivado, son las opciones.
Una opción es un contrato que da el derecho (y no la obli-
gación) de comprar (tal opción se llama
“CALL”
) a una fe-
cha futura predeterminada (“madurez” del contrato), can-
tidad fija de un activo (una acción) a un precio dado (“pre-
cio de ejercicio” o
“strike”
) a cambio de una prima inicial
pagada en el presente.
Sobre este tipo de productos, se realizan las siguientes
observaciones:
•
El riesgo del comprador es limitado a la prima: en el
peor de los casos, este pierde el importe pagado para
entrar al contrato.
•
El riesgo que afronta el vendedor del
CALL
aumenta
si el mercado esta en alza. La madurez puede jugar en
contra de él y; además, un gran movimiento de alza
justo antes de la ejecución siempre es de temerse.
Por otro lado, la incertidumbre que afecta la acción subya-
cente de la opción a madurez es el resultado de pequeños
movimientos cotidianos que pueden ser observados, lo que
provee información que puede ser utilizada para:
•
Definir un modelo para la dinámica del curso de la
acción;
•
y, reducir el riesgo final mediante un actitud dinámi-
ca y racional puesto que el vendedor puede en to-
do momento comprar o vender acciones que financia
con la ayuda de la prima.
Esto es precisamente lo que hacen en 1973 F. Black and
M. Scholes cuando publicaron un artículo (ver [2]) en el
cual, retomando las ideas de Bachelier, consiguieron dar
una respuesta al problema de precio y cobertura de un pro-
ducto derivado. Ellos definen el precio de un producto de-
rivado como el “precio de su cobertura”.
Por otro lado, es evidente que los precios de los dife-
rentes productos derivados no son cualquiera, existe una
fuerte coherencia entre los precios de productos derivados
sobre un mismo subyacente (por ejemplo,
CALLs
con dife-
rentes
strikes
).
D.1 Ausencia de oportunidad de arbitraje
Ley fundamental de las finanzas de mercado.-
En
un mercado muy liquido
2
, donde no existen precios de
transacción ni limitaciones sobre la compra-venta de ac-
ciones, no hay oportunidad de arbitraje, es decir, que no
es posible ganar dinero de manera segura a partir de una
inversión nula.
Esta propiedad de ausencia de oportunidad de arbitra-
je es, sobre todo, una regla que conduce a la
unicidad de
precios de productos derivados
de la siguiente manera:
Dos estrategias que dan como resultado un mismo valor en el
horizonte final de gestión (fecha de madurez) en todos los estados
del mundo tienen el mismo valor en toda fecha intermedia.
Analicemos ahora el comportamiento del vendedor de
un
CALL
que asegura un flujo
h
(
S
T
)
a una madurez
T
, re-
cibiendo en el presente la
prima
o precio de la acción. El
vendedor no puede repartir el riesgo sobre un gran núme-
ro de clientes como lo hacen las aseguradoras. Lo que hará
es invertir la prima en un portafolio autofinanciado (ver
definición 8 más adelante). El vendedor tiene varias opcio-
nes, si éste es pasivo, pondrá el dinero en el banco. En
T
la
cantidad de dinero que posee depende de los intereses re-
cibidos y de la prima inicial y no del valor del activo. Ésta
no es una estrategia adaptada al producto vendido.
Por otro lado, puede comprar un cierto número de ac-
ciones, de manera que su portafolio posea las mismas ac-
ciones subyacentes cuyo movimiento de su precio va en el
mismo sentido que el flujo que él podría pagar.
La gestión de un producto derivado se muestra enton-
ces como un conjunto de varias operaciones:
1) Seguir regularmente el precio
C
t
del producto en el
mercado;
2) administrar un portafolio autofinanciado, de valor
V
t
en
t
cuyo valor inicial es la prima
V
0
=
x
,
2
La propiedad de liquidez de un mercado se traduce por la facilidad de comprar y vender libremente y sin restricciones de cantidad los activos
que se intercambian en él.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51
49