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Eduardo Cepeda
Analíti a
k
2
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
3) vigilar el “P& L” (las ganancias y pérdidas) del por-
tafolio;
El objetivo de la gestión de una opción no es la maxi-
mización de “P& L” final, sino al contrario reducirlo con
el fin de conseguir la varianza más débil posible. El mejor
“portafolio” (que supone además, una elección optimal de
la prima
x
) es llamado el
portafolio de cobertura
.
Bajo la hipótesis de ausencia de oportunidad de arbi-
traje podemos establecer la siguiente relación entre evalua-
ción y cobertura:
Si es posible encontrar un P& L final de riesgo nulo, en-
tonces el principio de AOA implica que la diferencia entre
el precio y el valor del portafolio son nulos casi seguramen-
te en toda fecha
t
.
D.2 Modelación matemática
La incertidumbre es modelada a través de trayectorias
futuras del activo con riesgo, vistas como posibles escena-
rios de evolución. De manera general, se supone que las
trayectorias son funciones continuas definidas sobre
R
+
.
Bachelier modeló el curso de una acción como un movi-
miento browniano con tendencia (o
“drift”
). El problema
de este modelo es que permite a la acción adquirir valores
negativos. Samuelson en 1960 propuso mantener esta mo-
delación para los rendimientos en lugar del curso mismo.
Suponiendo que el rendimiento entre dos periodos es
medido mediante la diferencia de los logaritmos del curso
de la acción, deducimos el modelo presentado en la Sec-
ción 2.1. Puesto que la función exponencial ecuación no es
acotada, para justificar la escritura diferencial y la utiliza-
ción de la fórmula de Itô en (9), necesitamos ciertas pro-
piedades de integrabilidad que son fácilmente verificadas
gracias a las propiedades de la transformada de Laplace de
una variable aleatoria gausiana presentadas en el siguiente
teorema.
T
EOREMA
6.
Sea S un movimiento browniano geométrico de
valor inicial x. El curso S
t
, de condición inicial S
0
=
x sigue
una ley log-normal cuyos primeros momentos son dados por
E
[
S
t
] =
xe
µ
t
,
E
h
S
2
t
i
=
x
2
e
(
2
µ
+
σ
2
)
t
,
y
Var
[
S
t
] =
x
2
e
2
µ
t
e
σ
2
t
−
1 .
En particular, el Sharpe ratio que reporta la ganancia promedio
respecto a la variabilidad del activo,
Sharpe ratio
=
E
[
S
t
]
−
x
p
Var
[
S
t
]
(34)
independiente del valor inicial S
0
=
x.
D.3 Interpretación de los parámetros
•
Si no existe ruido, i.e.,
σ
=
0 y el activo no posee
ningún riesgo,
µ
representa su rendimiento anuali-
zado.Un simple argumento de arbitraje muestra que
en ausencia de aleatoriedad sobre el activo, su rendi-
miento debe ser el mismo que aquel de un depósito
en el banco cuya tasa de interés es notada
r
: si
r
<
µ
bastaría hacer un crédito en el banco y comprar el ac-
tivo, inversamente si
r
>
µ
bastaría vender el activo
al descubierto y depositar el dinero en el banco. Se
designa mediante
S
0
t
el valor en
t
de la capitalización
de un dólar en el banco.
dS
0
t
=
S
0
t
rdt
.
•
Si el activo tiene riesgo,
µ
representa el rendimiento
anualizado esperado del activo por unidad de tiem-
po. Es de uso común comparar el rendimiento de un
activo con el de la capitalización del dinero en el ban-
co. El parámetro
µ
−
r
es en general un parámetro de
referencia.
•
El
Ratio de Sharpe
por unidad de tiempo de los excesos
de rendimientos respecto al dinero toma en cuenta la
volatilidad del activo y, es considerado como la
pri-
ma de riesgo
λ
que el mercado asigna a la fuente de
riesgo
B
puesto que:
prima de riesgo
=
λ
=
d
dt
E
h
dS
t
S
t
i
−
r
r
d
dt
Var
h
dS
t
S
t
i
=
µ
−
r
σ
dS
t
S
t
.
(35)
•
Escribiendo el curso de un activo de la siguiente ma-
nera
dS
t
=
S
t
[
rdt
+
σ
(
dB
t
+
λ
dt
)]
,
se evidencia la importancia del parámetro clave de la ca-
racterización de los activos financieros: la
volatilidad
σ
. El
orden del tamaño de este parámetro depende de la natu-
raleza del activo subyacente: en los mercados de acciones
varía entre 30 % y 70 %, en los mercados de tasas de cambio
entre 10 % y 30 %, en los mercados de tasas de interés entre
el 8 % y 30 %.
D.4 Portafolio dinámico
Al suponer que se puede invertir sólo en
un activo
con
riesgo, usualmente llamado acción; y en dinero, es decir,
depositando en el banco o realizando préstamos. Se desig-
nará mediante
S
t
el precio de la acción en la fecha
t
,
r
la
tasa de interés para un depósito en el banco entre
[
t
,
t
+
dt
]
.
D
EFINICIÓN
8.
Es una estrategia dinámica de compra y venta
de acciones y de préstamos y depósitos de dinero en el banco, cuyo
valor no es modificado por el aumento o retiro de dinero.
50
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 1 (2011), Vol. 2(2): 37-51