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Diego Chamorro
Analíti a
k
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
dio de modelos que buscan replicar, o reproducir, estas ob-
servaciones en el futuro. Así por ejemplo, buena parte del
presupuesto general del estado ecuatoriano se basa en la
evolución del precio del petróleo, y en la manera en que
su venta ha sido negociada. Esta negociación se realiza so-
bre la base de modelos matemáticos sofisticados; por ello,
es fundamental comprender las herramientas matemáticas
subyacentes.
Figura 1.
Fluctuaciones del precio del cacao y del petróleo duran-
te el período 1994-2007. Fuente: internet.
Una de las primeras etapas en el uso de esta
caja de he-
rramientas matemáticas
consiste en tratar de
reproducir
o
mo-
delar
, por medio de objetos matemáticos, los gráficos ante-
riores. Es posible realizar esto por medio de un proceso es-
tocástico muy particular llamado el
movimiento Browniano
.
Podemos observar que este objeto matemático compar-
te, al menos visualmente, muchas de las propiedades de
los gráficos de la figura 1: picos, oscilaciones y variacio-
nes bruscas. En realidad, este es un ejemplo de uno de los
objetos matemáticos de base para una buena parte de las
matemáticas financieras.
Pero, ¿qué es el
movimiento Browniano
y porqué este
nombre? Este pequeño texto está dedicado a responder a
estas inquietudes.
El plan del artículo es el siguiente. En la sección 2, expli-
caremos cómo obtener el movimiento Browniano estándar
a partir de caminatas aleatorias y mostraremos una serie
de propiedades interesantes de este objeto matemático. En
la sección 3, discutiremos algunos aspectos relativos a la
integral de Riemann-Stieltjes, cuando la función contra la
cual se desea integrar es justamente un movimiento Brow-
niano. Esto conducirá a la construcción de la integral de
Wiener. En todas estas secciones nuestras principales refe-
rencias son [6] y [7]. Finalmente, en la sección 4 veremos
cómo intervienen estos objetos en la modelización finan-
ciera por medio de un ejemplo concreto. En el apéndice 5,
se incluyen los códigos en S
CILAB
que permiten hacer una
modelización informática de las trayectorias de un movi-
miento Browniano.
Figura 2.
Dos ocurrencias de un movimiento Browniano. Fuente:
código del autor.
2 El movimiento Browniano
El movimiento Browniano es un buen ejemplo de inter-
acción entre diferentes disciplinas científicas. En efecto, en
1827, el biólogo escocés Robert Brown observa en el micros-
copio el movimiento errático de ciertas partículas de una
planta en un líquido; esto parecía concordar con la idea, vi-
gente en esa época, que consideraba este tipo de movimien-
to desordenado como consecuencia de algún “fluido vital”.
Sin embargo, esta hipótesis fue rechazada por Brown cuan-
do, en 1828, observó el mismo tipo de movimiento caóti-
co con partículas inorgánicas de tamaño similar. Años más
tarde, en 1901, el matemático francés Louis Bachelier utili-
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Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19