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Algunas herramientas matemáticas para la economía y las finanzas. . .
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
zó este movimiento para explicar las fluctuaciones de los
mercados financieros y este fue el inicio de una larga tra-
dición en las matemáticas financieras, pero hubo que es-
perar al matemático norteamericano Norbert Wiener para
obtener una definición matemática formal de este objeto en
1923.
2.1 Procesos estocásticos y caminatas aleato-
rias
El movimiento Browniano es un caso muy particular
de un proceso estocástico cuya definición general damos a
continuación.
D
EFINICIÓN
1
(Proceso estocástico)
.
Sea
(
Ω
,
F
,
P
)
un espa-
cio de probabilidades, sea
(
E
,
E
)
un espacio medible y sea I un
conjunto de índices (en la práctica se tiene I
=
R
+
o I
=
N
).
Un
proceso estocástico
es entonces una colección de variables
aleatorias
(
X
t
)
t
∈
I
definidas sobre el espacio
(
Ω
,
F
,
P
)
a valores
sobre el espacio
(
E
,
E
)
.
Demos un ejemplo que será de utilidad posteriormen-
te. Sea
(
ǫ
t
)
t
∈
N
una sucesión de variables aleatorias inde-
pendientes de Bernoulli de ley de probabilidad dada por
P
(
ǫ
t
=
−
1
) =
P
(
ǫ
t
=
1
) =
1/2. Definimos entonces
un proceso estocástico, llamado
caminata aleatoria
, de la si-
guiente forma:
(
X
0
=
0,
X
t
+
1
=
X
t
+
ǫ
t
.
(1)
Figura 3.
Una caminata aleatoria. Fuente: código del autor.
Los puntos obtenidos por medio de este proceso entre
t
y
t
+
1 son juntados linealmente para obtener la figura 3.
Visualmente podemos apreciar cierta similitud entre el
gráfico de esta caminata aleatoria y los de la figura 1. Pero
esta modelización deja mucho que desear; por esta razón,
vamos a imponer ciertas condiciones que harán que el ob-
jeto matemático correspondiente se acerque más a las fluc-
tuaciones del precio de las materias primas observadas.
Estas condiciones pueden parecer arbitrarias, pero se-
rán justificadas al
construir
el movimento Browniano.
D
EFINICIÓN
2
(Movimiento Browniano estándar)
.
Un pro-
ceso estocástico B
(
t
,
ω
)
es un
movimiento Browniano están-
dar
si satisface las siguientes condiciones:
1) El proceso comienza en cero:
P
ω
:
B
(
0,
ω
) =
0
=
1
2) Para todo
0
≤
s
<
t, la variable aleatoria B
(
t
)
−
B
(
s
)
es normalmente distribuida con media cero y de varianza
t
−
s:
B
(
t
)
−
B
(
s
)
∼ N
(
0,
t
−
s
)
,
es decir, para todo a
<
b , se tiene:
P
(
a
≤
B
(
t
)
−
B
(
s
)
≤
b
) =
1
p
2
π
(
t
−
s
)
Z
b
a
e
−
x
2
2
(
t
−
s
)
dx
.
3) El proceso B
(
t
,
ω
)
tiene incrementos independientes: para
todo
0
≤
t
1
<
t
2
<
. . .
<
t
n
las variables aleatorias
B
(
t
1
)
,
B
(
t
2
)
−
B
(
t
1
)
, . . . ,
B
(
t
n
)
−
B
(
t
n
−
1
)
,
son independientes.
4) Casi todos los caminos de B
(
t
,
ω
)
son funciones continuas:
P
ω
:
B
(
·
,
ω
)
es continua
=
1.
Por comodidad, el proceso estocástico
B
(
t
,
·
)
será nota-
do
B
(
t
)
o
B
t
.
D
EFINICIÓN
3.
Una realización para un
ω
fijado t
7
−→
B
(
t
,
·
)
de un movimiento Browniano es llamada una
Trayectoria
.
Figura 4.
Dos trayectorias de un movimiento Browniano en 2D y
3D. Fuente: código del autor.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19
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