Versión de HTML Básico
Diego Chamorro
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
2.2 Construcción del Movimiento Browniano
La caminata aleatoria definida en la página anterior
cumple con algunos de los puntos anteriores pero, en par-
ticular, no cumple con la condición
2)
. Sin embargo la idea
de caminatas aleatorias es muy útil para una construcción
simple y rápida del movimiento Browniano.
Empecemos con una variante del proceso estocástico
dado en (1) y consideremos una caminata aleatoria que em-
pieza en el punto cero, con saltos de amplitud
a
y
−
a
de
igual probabilidad de ocurrencia en los tiempos
δ
, 2
δ
, . . .
en donde
s
,
δ
son dos números positivos. Más formalmen-
te, sea
(
ε
n
)
n
∈
N
una sucesión de variables aleatorias inde-
pendientes idénticamente distribuidas tales que
P
(
ε
n
=
−
a
) =
P
(
ε
n
=
a
) =
1
2
.
Construimos a partir de esto una caminata aleatoria
Y
a
,
δ
escribiendo
(
Y
a
,
δ
(
0
) =
0,
Y
a
,
δ
(
n
δ
) =
ε
1
+
ε
2
+
· · ·
+
ε
n
.
(2)
Luego, para todo tiempo
t
tal que
n
δ
<
t
<
(
n
+
1
)
δ
junta-
mos linealmente los extremos de esta manera:
Y
a
,
δ
(
t
) =
(
n
+
1
)
δ
−
t
δ
Y
a
,
δ
(
n
δ
) +
t
−
n
δ
δ
Y
a
,
δ
((
n
+
1
)
δ
)
.
La cantidad
Y
a
,
δ
(
t
)
representa la posición de la camina-
ta aleatoria en el tiempo
t
; y es a partir de esta camina-
ta aleatoria que vamos a obtener el movimiento Brow-
niano haciendo tender
a
y
δ
hacia cero, es decir
B
(
t
) =
l´ım
a
,
δ
→
0
Y
a
,
δ
(
t
)
. Pero antes de lanzarnos en el cálculo de es-
te límite, conviene estudiar la función característica:
E
[
exp
(
i
λ
Y
a
,
δ
(
t
))]
con
λ
∈
R
.
Vamos a ver que muchas de las propiedades del proceso es-
tocástico límite se pueden obtener al comprender esta fun-
ción característica.
Por simplicidad, vamos a suponer que
t
=
n
δ
, de ma-
nera que
n
=
t
/
δ
; esto será suficiente para nuestros propó-
sitos inmediatos. Por construcción de
Y
a
,
δ
y por las propie-
dades de las variables aleatorias
(
ε
n
)
n
∈
N
se tiene
E
[
exp
(
i
λ
Y
s
,
δ
(
t
))] =
E
"
exp
i
λ
n
∑
j
=
1
ε
j
!#
=
n
∏
j
=
1
E
exp
(
i
λε
j
)
=
E
[
exp
(
i
λε
1
)]
n
=
1
2
e
i
λ
a
+
1
2
e
−
i
λ
a
n
=
cos
(
λ
a
)
n
=
cos
(
λ
a
)
t
/
δ
.
(3)
A partir de este pequeño cálculo, observamos que, para
λ
y
t
fijados, el límite de la cantidad
E
[
exp
(
i
λ
Y
a
,
δ
(
t
))]
cuando
a
y
δ
tienden independientemente hacia cero no existe. Pa-
ra verificarlo basta hacer un desarrollo limitado de la can-
tidad cos
(
λ
a
)
t
/
δ
: en efecto, si
a
y
δ
son muy pequeños se
tiene
cos
(
λ
a
)
t
/
δ
≈
1
−
t
λ
2
2
a
2
δ
.
Vemos por ejemplo que, si
a
≈
x
y si
δ
≈
x
3
, entonces hay
un verdadero problema en la fórmula anterior si se hace
a
,
δ
−→
0. Esto muestra que se debe fijar con cuidado la re-
lación entre
a
y
δ
para que el límite exista. Sin embargo, la
existencia del límite de la cantidad
E
[
exp
(
i
λ
Y
a
,
δ
(
t
))]
cuan-
do
a
,
δ
−→
0 no es suficiente para obtener una caminata
aleatoria con las propiedades buscadas. Si fijamos ahora
a
y
δ
tales que
a
2
δ
−→
0 si
δ
−→
0, se obtiene que
l´ım
a
,
δ
→
0
E
[
exp
(
i
λ
Y
a
,
δ
(
t
))] =
1.
Esto implica que el proceso estocástico
X
(
t
)
definido por
X
(
t
) =
l´ım
a
,
δ
→
0
Y
a
,
δ
(
t
)
existe, pero se tiene que
X
(
t
)
≡
0.
Para obtener el movimiento Browniano es convien-
te, antes de hacer un desarrollo limitado, escribir
x
=
ln
(
cos
(
λ
a
)
t
/
δ
)
. Se tiene entonces que
x
=
t
δ
ln
(
cos
(
λ
a
))
y,
si
a
es muy pequeño, tenemos cos
(
λ
a
)
≈
1
−
λ
2
2
a
2
. Ahora,
dado que ln
(
1
+
τ
)
≈
τ
, si
τ
es pequeño podemos escribir
ln
(
cos
(
λ
a
)
t
/
δ
)
≈
ln
(
1
−
λ
2
2
a
2
)
≈ −
λ
2
2
a
2
.
De esta forma observamos que, si
a
y
δ
son muy peque-
ños, se tiene
x
≈ −
t
λ
2
2
δ
a
2
y entonces cos
(
λ
a
)
t
/
δ
≈
e
−
t
λ
2
2
a
2
δ
.
Por lo tanto, volviendo a la expresión (3), si
a
y
δ
son muy
pequeños, obtenemos la aproximación
E
[
exp
(
i
λ
Y
a
,
δ
(
t
))]
≈
e
−
t
λ
2
2
a
2
δ
.
En particular si fijamos
a
2
=
δ
entonces podemos escribir
l´ım
a
,
δ
→
0
E
[
exp
(
i
λ
Y
a
,
δ
(
t
))] =
e
−
t
λ
2
2
,
λ
∈
R
.
El lector observará que esta función característica corres-
ponde a una distribución gaussiana centrada de varianza
igual a
t
. Estas observaciones nos permiten enunciar nues-
tro primer teorema:
T
EOREMA
1.
Sea Y
a
,
δ
(
t
)
una caminata aleatoria que empieza en
cero, con saltos equiprobables de amplitud a y
−
a en los tiempos
δ
, 2
δ
, . . .
. Si suponemos que a
2
=
δ
, entonces para todo tiempo
t
≥
0
el límite
B
(
t
) =
l´ım
a
,
δ
→
0
Y
a
,
δ
(
t
)
existe.
Se tiene además que
E
h
e
i
λ
B
(
t
)
i
=
e
−
t
λ
2
2
,
λ
∈
R
,
(4)
10
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19