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Algunas herramientas matemáticas para la economía y las finanzas. . .
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
y el proceso estocástico B
(
t
)
es un movimiento Browniano están-
dar.
Demostración.
Con los cálculos de las líneas precedentes
hemos verificado la existencia del proceso estocástico
B
(
t
)
y la validez de la fórmula (4). Por construcción de la ca-
minata aleatoria
Y
a
,
δ
(
t
)
, se tiene que el proceso estocástico
B
(
t
)
comienza en cero. Para verificar que la variable aleato-
ria
B
(
t
)
−
B
(
s
)
es normalmente distribuida con media cero
y de varianza
t
−
s
, aplicamos la fórmula (4) para obtener
E
h
e
i
λ
[
B
(
t
)
−
B
(
s
)]
i
=
e
−
(
t
−
s
)
λ
2
2
de donde se deduce que
B
(
t
)
−
B
(
s
)
∼ N
(
0,
t
−
s
)
. La in-
dependencia de los incrementos es una consecuencia de
la independencia de las variables aleatorias
(
ε
n
)
n
∈
N
que
ayudaron a construir el proceso estocástico
B
(
t
)
. Con esto
hemos comprobado los puntos
1)
,
2)
y
3)
de la definición
2. Pero falta el punto
4)
. La continuidad del movimiento
Browniano es un poco más delicada y, para ello, necesitare-
mos introducir la siguiente noción y verificar un resultado
dado en la proposición 1:
D
EFINICIÓN
4.
Sean
(
X
t
)
t
∈
I
y
(
e
X
t
)
t
∈
I
dos procesos estocásti-
cos definidos sobre el mismo espacio de probabilidades. Decimos
que
e
X
t
es una
modificación
de X
t
, si para todo t
∈
I se tiene la
identidad
X
t
=
e
X
t
casi en todas partes.
P
ROPOSICIÓN
1
(Teorema de Kolmogorov- ˇCentsov)
.
Sean
(
X
t
)
t
∈
[
0,1
[
d
un proceso estocástico y tres constantes estrictamen-
te positivas
γ
,
c
,
ǫ
tales que
E
[
|
X
t
−
X
s
|
γ
]
≤
c
|
t
−
s
|
d
+
ǫ
.
Entonces, existe una modificación
e
X
t
de X
t
tal que
E
"
sup
s
6
=
t
|
e
X
t
−
e
X
s
|
|
t
−
s
|
α
!
γ
#
<
+
∞
(5)
para todo
α
∈
[
0,
ǫ
/
γ
[
.
Demostración de la proposición 1.
Para
m
∈
N
, definimos
el conjunto
D
m
como la colección de
d
-uplas
s
=
(
2
−
m
k
1
, . . . , 2
−
m
k
d
)
, en donde cada
k
i
es un entero en el
intervalo
[
0, 2
m
]
, y definimos
D
=
[
m
∈
N
D
m
. Definimos ade-
más el conjunto
∆
m
de parejas
(
s
,
t
)
∈
D
m
tales que
|
s
−
t
|
=
2
−
m
. Notemos que hay un poco menos que 2
(
m
+
1
)
d
de es-
te tipo de parejas. también diremos para todo
s
,
t
∈
D
que
s
≤
t
si cada componente de
s
es menor o igual que el com-
ponente correspondiente de
t
.
Definamos ahora
K
j
=
sup
(
s
,
t
)
∈
∆
m
|
X
t
−
X
s
|
. La hipóte-
sis de la proposición nos asegura que existe una constante
κ
tal que
E
[
K
γ
j
]
≤
∑
(
s
,
t
)
∈
∆
m
E
[
|
X
t
−
X
s
|
γ
]
≤
2
(
m
+
1
)
d
×
c
2
−
m
(
d
+
ǫ
)
=
κ
2
−
m
ǫ
.
Por construcción del conjunto
D
, para todo punto
s
∈
D
existe una sucesión creciente
(
s
n
)
n
∈
N
∈
D
tal que
s
n
∈
D
n
y tal que
s
n
≤
s
con
s
n
=
t
a partir de un cierto
n
sufi-
cientemente grande. Sea ahora
s
,
t
∈
D
con la condición
que
|
s
−
t
| ≤
2
−
m
. Se tiene entonces o que
s
m
=
t
m
o que
(
s
m
,
t
m
)
∈
∆
m
y en ambos casos podemos escribir:
X
s
−
X
t
=
+
∞
∑
j
=
m
(
X
s
j
+
1
−
X
s
j
) +
X
s
m
−
X
t
m
+
+
∞
∑
j
=
m
(
X
t
j
−
X
t
j
+
1
)
en donde las series precedentes son en realidad sumas fini-
tas. De esta identidad se deduce que
|
X
s
−
X
t
| ≤
K
m
+
2
+
∞
∑
j
=
m
+
1
K
j
≤
2
+
∞
∑
j
=
m
K
j
.
Definimos ahora el conjunto
M
α
=
sup
s
,
t
∈
D
,
s
6
=
t
n
|
X
t
−
X
s
|
|
t
−
s
|
α
o
. Te-
nemos entonces que
M
α
≤
sup
m
∈
N
(
2
(
m
+
1
)
α
sup
|
t
−
s
|≤
2
−
m
|
X
t
−
X
s
|
:
s
,
t
∈
D
,
s
6
=
t
)
≤
sup
m
∈
N
(
2
(
m
+
1
)
α
+
1
+
∞
∑
j
=
m
K
j
)
≤
2
α
+
1
+
∞
∑
j
=
0
2
i
α
K
j
.
Ahora, para
γ
≥
1 y para
α
≤
ǫ
/
γ
, obtenemos con
κ
′
=
2
α
+
1
κ
1/
γ
que
k
M
α
k
L
γ
≤
2
α
+
1
+
∞
∑
j
=
0
2
j
α
k
K
j
k
L
γ
≤
κ
′
+
∞
∑
j
=
0
2
j
(
α
−
ǫ
/
γ
)
<
+
∞
,
en dónde hemos notado
k · k
L
γ
la norma usual en los espa-
cios
L
γ
.
Si 0
<
γ
<
1, el mismo razonamiento se aplica a la can-
tidad
E
[
M
γ
α
]
en lugar de
k
M
α
k
L
γ
. Se obtiene entonces que
para casi todo
ω
,
X
t
es uniformemente continuo sobre
D
y
podemos definir sin ambigüedad
e
X
t
(
ω
) =
l´ım
s
→
t
s
∈
D
X
s
(
ω
)
.
Finalmente, aplicando el Lema de Fatou a este límite, y co-
mo se tiene que
e
X
t
=
X
t
casi en todas partes, se obtiene
que
e
X
t
es la modificación buscada.
Fin de la demostración del teorema 1.
Se tiene, por las pro-
piedades anteriormente verificadas, que
B
(
t
)
−
B
(
s
)
∼
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19
11