Versión de HTML Básico
Diego Chamorro
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
N
(
0,
t
−
s
) =
√
t
−
s
N
(
0, 1
)
. Se obtiene entonces, para
todo entero
n
≥
1, que
E
[
|
B
(
t
)
−
B
(
s
)
|
2
n
] =
E
[
| √
t
−
s
N
(
0, 1
)
|
2
n
]
=
|
t
−
s
|
n
E
[
N
(
0, 1
)
2
n
]
.
Calculemos ahora
E
[
N
(
0, 1
)
2
n
]
, para ello estudiamos la
función característica de la variable aleatoria
N
(
0, 1
)
2
n
:
E
[
e
i
λ
N
(
0,1
)
2
n
] =
E
"
+
∞
∑
k
=
1
1
k
!
(
i
)
k
λ
k
G
2
nk
#
=
+
∞
∑
k
=
1
1
k
!
(
i
)
k
λ
k
E
h
G
2
nk
i
,
en donde
G
es una gaussiana normalizada. Dado que todos
los momentos impares de las gaussianas son nulos, se tie-
ne que solo los
k
momentos pares intervienen en esta suma.
Así, se obtiene que
E
[
e
i
λ
N
(
0,1
)
2
n
] =
e
−
c
n
λ
2
2
y, por lo tanto, que
E
[
N
(
0, 1
)
2
n
] =
c
n
. Es decir que se veri-
fica la hipótesis de la proposición 1 con
γ
=
2
n
y
ǫ
=
n
−
1:
E
[
|
B
(
t
)
−
B
(
s
)
|
2
n
] =
c
n
|
t
−
s
|
n
.
(6)
Entonces, la expresión (5) implica que existe una modifi-
cación
e
B
(
t
)
de
B
(
t
)
que es continua y por lo tanto resulta
que
P
ω
:
B
(
·
,
ω
)
es continua
=
1.
Con esto se tiene el punto
4)
de la definición de movimiento
Browniano y terminamos, de esta manera, la demostración
del teorema 1.
2.3 Algunas propiedades del movimiento
Browniano
Una vez que hemos construido el movimiento Brow-
niano estándar y que se dispone de la identidad
E
h
e
i
λ
B
(
t
)
i
=
e
−
t
λ
2
2
, es posible determinar una serie de pro-
piedades que detallamos a continuación:
P
ROPOSICIÓN
2.
Sea
(
B
t
)
t
∈
R
+
un movimiento Browniano es-
tándar. Entonces
1) para todo t
>
0
, B
(
t
)
es una variable aleatoria normal-
mente distribuida de media cero y de varianza t.
2) para todo s
,
t
≥
0
, se tiene
E
[
B
t
B
s
] =
m´ın
{
s
,
t
}
.
Demostración.
Por el primer punto de la definición 2 se tie-
ne que
B
(
t
) =
B
(
t
)
−
B
(
0
)
mientras que, por el segundo
punto, se tiene que
B
(
t
)
−
B
(
0
)
∼ N
(
0,
t
)
de donde se
deduce la primera aserción de esta proposición. Nótese en
particular que se tiene la fórmula
Var
(
B
(
t
)) =
E
[
B
(
t
)
2
] =
t
,
puesto que
E
[
B
(
t
)] =
0.
Para mostrar la segunda parte podemos suponer, sin
pérdida de generalidad que
s
<
t
; entonces por los pun-
tos
2)
y
3)
de la definición 2 podemos escribir
E
[
B
(
s
)
B
(
t
)] =
E
[
B
(
s
)(
B
(
t
)
−
B
(
s
)) +
B
(
s
)
2
]
=
E
[
B
(
s
)(
B
(
t
)
−
B
(
s
))] +
E
[
B
(
s
)
2
]
=
E
[
B
(
s
)]
E
[
B
(
t
)
−
B
(
s
)] +
E
[
B
(
s
)
2
]
=
0
+
s
=
s
;
es decir que
E
[
B
t
B
s
] =
m´ın
{
s
,
t
}
.
P
ROPOSICIÓN
3.
Sea t
0
≥
0
un real. Entonces, el proceso esto-
cástico
e
B
(
t
)
definido por la fórmula
e
B
(
t
) =
B
(
t
+
t
0
)
−
B
(
t
0
)
es un movimiento Browniano estándar.
Demostración.
Hay que verificar que el proceso estocástico
e
B
(
t
)
cumple con las cuatro condiciones de la definición 2.
Vemos, pues, que se tienen los puntos
1)
y
4)
. Ahora,
para todo
s
<
t
escribimos
e
B
(
t
)
−
e
B
(
s
) =
B
(
t
+
t
0
)
−
B
(
s
+
t
0
)
,
(7)
pero como
B
(
t
)
es un movimiento Browniano se tiene que
B
(
t
+
t
0
)
−
B
(
s
+
t
0
)
es una variable aleatoria normalmente
distribuida con media cero y varianza
(
t
+
t
0
)
−
(
s
+
t
0
) =
t
−
s
. De esta manera se obtiene que
e
B
(
t
)
verifica la con-
dición
2)
. Finalmente, para el punto
3)
, podemos suponer
que
t
0
>
0; en ese caso, para toda sucesión 0
≤
t
1
<
t
2
<
· · ·
<
t
n
se tiene 0
<
t
0
<
t
0
+
t
1
<
· · ·
<
t
0
+
t
n
.
Aplicamos entonces el punto
3)
a
B
(
t
)
para obtener que
B
(
t
)
,
B
(
t
k
+
t
0
)
−
B
(
t
k
−
1
+
t
0
)
,
k
=
1, . . . ,
n
son variables
aleatorias independientes. Por la fórmula (7) se tiene en-
tonces que las variables aleatorias
e
B
(
t
k
)
−
e
B
(
t
k
−
1
)
son in-
dependientes de manera que se obtiene la condición
3)
.
P
ROPOSICIÓN
4.
Para todo número real
λ
>
0
, el proceso es-
tocástico
e
B
(
t
) =
B
(
λ
t
)
/
√
λ
es un movimiento Browniano es-
tándar.
Demostración.
Las condiciones
1)
,
3)
y
4)
son inmediatas.
Para verificar
2)
, observamos que para todo
s
<
t
se tiene
e
B
(
t
)
−
e
B
(
s
) =
1
√
λ
(
B
(
λ
t
)
−
B
(
λ
s
))
.
Esto muestra que la variable aleatoria
e
B
(
t
)
−
e
B
(
s
)
es nor-
malmente distribuida, de media cero y de varianza
1
λ
(
λ
t
−
λ
s
) =
t
−
s
. De donde se deduce la condición
2)
y se termi-
na la verificación de esta proposición.
12
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19