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Algunas herramientas matemáticas para la economía y las finanzas. . .
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Este hecho nos explica que si agrandamos el movimien-
to Browniano por medio de una lupa, seguiremos obser-
vando, a todas las escalas, un movimiento Browniano.
Nos interesamos ahora en estudiar la
regularidad
de es-
te objeto matemático. Por definición, sabemos que es un
objeto continuo, pero ¿es posible decir un poco más? Pa-
ra hacernos una idea de la situación, vamos a volver a la
caminata aleatoria
Y
a
,
δ
definida en (2) que nos ha servido
para la construcción del movimiento Browniano. En efecto,
si fijamos por un instante
a
y
δ
, vemos que entre cada eta-
pa de la caminata aleatoria
Y
a
,
δ
se tiene que la pendiente es
igual, en valor absoluto, a
a
δ
. Dado que, para la obtención
del movimiento Browniano, hemos fijado
a
=
√
δ
, la pen-
diente entre estas dos etapas de la caminata aleatoria es del
orden de
1
√
δ
−→
δ
→
0
+
∞
. Esto muestra, heurísticamente, que
es posible que el movimiento Browniano no sea un objeto
derivable. En este sentido tenemos el importante teorema
siguiente:
T
EOREMA
2
(Paley, Wiener, Zygmund)
.
Sea
(
B
t
)
t
∈
R
+
un
movimiento Browniano estándar, entonces, para todo
ω
∈
Ω
,
las trayectorias B
t
(
ω
)
no son derivables en ningún punto.
Este resultado, demostrado en 1933, es de gran impor-
tancia pues brinda un ejemplo de funciones que no son
derivables en ningún punto pero sobre todo muestra que
estas funciones no son únicamente artefactos matemáticos,
sino que aparecen en las observaciones de la naturaleza. La
demostración de este teorema puede encontrarse en [6].
Tenemos pues una función continua que no es deriva-
ble en ningún punto es decir que para una trayectoria da-
da se tiene que
B
(
t
,
·
)
/
∈ C
1
(
R
)
. Vamos a ver que es posible
detallar un poco más la noción de regularidad y para ello
introducimos el siguiente espacio de funciones.
D
EFINICIÓN
5
(Espacios de Hölder)
.
Sea
0
<
α
<
1
. Defi-
nimos el espacio de Hölder homogéneo
˙
C
α
(
R
)
como el conjunto
de funciones (módulo las constantes) f
:
R
−→
R
tales que la
cantidad
k
f
k
˙
C
α
=
sup
x
6
=
y
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
|
x
−
y
|
α
sea finita.
(8)
Los espacios de Hölder ˙
C
α
(
R
)
con 0
<
α
<
1 son ge-
neralizaciones fraccionarias de los espacios de funciones a
derivadas continuas
C
k
(
R
)
con
k
∈
N
.
Por el teorema 1 sabemos que el movimiento Brow-
niano
B
t
admite una modificación que pertenece al espa-
cio
C
0
(
R
)
de funciones continuas, pero por el teorema 2
se tiene que
B
t
/
∈ C
1
(
R
)
. Gracias a los espacios de Hölder
podemos afinar esta información:
T
EOREMA
3.
Sea
(
B
t
)
t
∈
R
+
un movimiento Browniano están-
dar, entonces existe una modificación
e
B
(
t
)
continua de B
(
t
)
tal
que casi todas sus trayectorias poseen una regularidad Hölderia-
na de orden
α
con
0
<
α
<
1/2
.
Demostración.
La verificación de este hecho es inmediata
una vez que se tiene el teorema de Kolmogorov- ˇC enun-
ciado en la proposición 1. En efecto, dado que se tiene la
fórmula (6):
E
[
|
B
(
t
)
−
B
(
s
)
|
2
n
] =
c
n
|
t
−
s
|
n
se puede aplicar el teorema de Kolmogorov- ˇCentsov con
γ
=
2
n
y
ǫ
=
n
−
1, entonces se obtiene que el movimiento
Browniano
B
(
t
)
admite una modificación continua que es
Hölder regular con índice de regularidad 0
<
α
<
n
−
1
2
n
. Así
se obtiene que el movimiento Browniano posee una regu-
laridad Hölderiana de orden 0
<
α
<
1/2.
O
BSERVACIÓN
1.
Es importante notar que se tiene la esti-
mación estricta en el índice de regularidad y que se puede
mostrar que el movimiento Browniano estándar no es Höl-
der regular de orden 1/2.
3 Integral de Wiener
El objetivo de esta sección es dar un sentido a la siguien-
te expresión:
I
(
f
) =
Z
b
a
f
(
t
)
dB
(
t
,
ω
)
,
(9)
en dónde
f
es una función determinística (que no depen-
de de
ω
) y
B
(
t
,
ω
)
es un movimiento Browniano estándar.
Antes de dar los detalles de la construcción de esta inte-
gral, llamada la integral de Wiener, vamos a mostrar algu-
nos puntos que hay que tener en consideración.
Empecemos con dos funciones
f
,
g
:
[
a
,
b
]
−→
R
conti-
nuas y acotadas. Recordemos que
f
es
Riemann-Stieltjes con
respecto a g
, si el siguiente límite existe:
Z
b
a
f
(
x
)
dg
(
x
) =
l´ım
k
∆
n
k→
0
n
∑
i
=
1
f
(
τ
i
)
g
(
x
i
)
−
g
(
x
i
+
1
)
(10)
en donde
∆
n
=
{
x
0
, . . . ,
x
n
}
es una partición del inter-
valo
[
a
,
b
]
con la convención
a
=
x
0
<
· · ·
<
x
n
=
b
,
k
∆
n
k
=
m´ax
1
≤
i
≤
n
(
x
i
−
x
i
−
1
)
y
τ
i
es un punto de evaluación
dentro del intervalo
[
x
i
−
1
,
x
i
]
.
Sin embargo, hay que tener un poco de cuidado con la
definición de la integral
R
b
a
f
(
x
)
dg
(
x
)
. Consideremos el ca-
so particular en donde
f
=
g
; notaremos
I
n
y
D
n
las sumas
de Riemann correspondientes con los puntos de evaluación
τ
i
=
x
i
−
1
y
τ
i
=
x
i
respectivamente:
I
n
=
n
∑
i
=
1
f
(
x
i
−
1
)
f
(
x
i
)
−
f
(
x
i
−
1
)
D
n
=
n
∑
i
=
1
f
(
x
i
)
f
(
x
i
)
−
f
(
x
i
−
1
)
.
Calculamos ahora
D
n
−
I
n
y
D
n
+
I
n
, para obtener
D
n
−
I
n
=
n
∑
i
=
1
f
(
x
i
)
−
f
(
x
i
−
1
)
2
(11)
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19
13