Versión de HTML Básico
Diego Chamorro
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
D
n
+
I
n
=
n
∑
i
=
1
f
(
x
i
)
f
(
x
i
)
2
−
f
(
x
2
i
−
1
)
=
f
(
b
)
2
−
f
(
a
)
2
.
(12)
El límite cuando
k
∆
n
k →
0 de la expresión (11) es llama-
do la
variación cuadrática
de la función
f
. Evidentemente, se
tiene l´ım
k
∆
n
k→
0
D
n
6
=
l´ım
k
∆
n
k→
0
I
n
si y solo si la variación cua-
drática de
f
es diferente de cero. En este caso, la definición
de la integral (10) es problemática pues el resultado
depende
del punto de evaluación
τ
i
. Esto muestra que hay que tener
un poco de cuidado cuando se trata de definir una integral
por medio de la expresión (10). Existen varias formas de
contornar esta dificultad aparente y, en este artículo, nos
concentraremos en la integral de Wiener.
3.1 Construcción de la integral de Wiener
Empezamos, pues, la construcción de la integral de
Wiener con funciones simples
f
=
∑
n
i
=
1
a
i
1
{
[
t
i
,
t
i
+
1
[
}
(
x
)
, en
dónde
t
0
=
a
y
t
n
=
b
. Definimos entonces
I
(
f
)(
ω
) =
n
∑
i
=
1
a
i
(
B
(
t
i
,
ω
)
−
B
(
t
i
−
1
,
ω
))
.
(13)
Se tiene, evidentemente,
I
(
α
f
+
β
g
)(
ω
) =
α
I
(
f
)(
ω
) +
β
I
(
g
)(
ω
)
, para todo
α
,
β
∈
R
y
f
,
g
dos funciones simples,
de manera que el operador
I
es lineal.
L
EMA
1.
Para una función simple f , la variable aleatoria I
(
f
)
es una gaussiana con media cero y de varianza
E
[
I
(
f
)
2
] =
Z
b
a
f
(
t
)
2
dt
.
Demostración.
Recordemos que una combinación lineal de
variables aleatorias gaussianas independientes sigue sien-
do una variable aleatoria gaussiana. Por la construcción da-
da en (13), se tiene que
I
(
f
)
es una variable aleatoria gaus-
siana.
Verifiquemos que la media de
I
(
f
)
es nula. Para ello es-
cribimos:
E
[
I
(
f
)] =
E
"
n
∑
i
=
1
a
i
B
t
i
−
B
t
i
−
1
#
=
n
∑
i
=
1
a
i
E
[
B
t
i
]
−
E
[
B
t
i
−
1
] =
0
por las propiedades del movimiento Browniano dadas en
la proposición 2. Calculemos ahora la varianza; por defini-
ción, tenemos
σ
2
=
E
[
I
(
f
)
2
] =
E
n
∑
i
=
1
a
i
(
B
t
i
−
B
t
i
−
1
)
!
2
.
(14)
Observemos ahora dos puntos:
1. Primeramente:
E
h
B
t
i
−
B
t
i
−
1
2
i
=
t
i
−
t
i
−
1
.
(15)
En efecto, desarrollando esta expresión tenemos
E
h
B
t
i
−
B
t
i
−
1
2
i
=
E
[
B
2
t
i
]
−
2
E
[
B
t
i
B
t
i
−
1
] +
E
[
B
2
t
i
−
1
]
=
t
i
−
2 m´ın
{
t
i
,
t
i
−
1
}
+
t
i
−
1
=
t
i
−
t
i
−
1
.
2. Además se tiene, cuando
i
6
=
j
, que
E
B
t
i
−
B
t
j
2
=
0.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que
j
<
i
,
entonces
E
B
t
i
−
B
t
j
2
=
E
[
B
t
i
B
t
j
]
−
E
[
B
t
i
−
1
B
t
j
]
−
E
[
B
t
i
B
t
j
−
1
] +
E
[
B
t
i
−
1
B
t
j
−
1
]
=
m´ın
{
t
i
,
t
j
} −
m´ın
{
t
i
−
1
,
t
j
}
−
m´ın
{
t
i
,
t
j
−
1
}
+
m´ın
{
t
i
−
1
,
t
j
−
1
}
.
Lo que permite obtener el resultado deseado.
Finalmente, gracias a estas dos observaciones, tenemos que
la ecuación (14) se reduce a
σ
2
=
n
∑
i
=
1
a
2
i
(
t
i
−
t
i
−
1
) =
Z
b
a
f
2
(
t
)
dt
,
lo que termina la demostración del lema.
Vamos ahora a aplicar la integral definida con la fórmu-
la (13) a funciones más generales que las funciones simples.
Para ello introducimos un poco de notaciones y considera-
remos
L
2
(
Ω
)
el espacio de Hilbert formado por el conjun-
to de variables aleatorias de cuadrado integrable definidas
sobre
Ω
. Para este espacio de Hilbert, el producto interno
estará dado por la fórmula:
h
X
,
Y
i
=
E
[
XY
]
.
(16)
Sea ahora
f
una función determinista tal que
f
∈
L
2
([
a
,
b
])
y fijemos una sucesión de funciones simples
(
f
j
)
j
∈
N
tal que
f
n
−→
f
en
L
2
[
a
,
b
]
. Por el lema 1 se tiene que la sucesión
(
I
(
f
n
))
n
∈
N
es de Cauchy en
L
2
(
Ω
)
, de manera que conver-
ge en
L
2
(
Ω
)
. Esto nos permite entonces definir la siguiente
cantidad
I
(
f
) =
l´ım
n
→
+
∞
I
(
f
n
)
,
en
L
2
(
Ω
)
.
(17)
Aquí debemos verificar que la fórmula dada por (17) está
bien definida. Para ello vamos a mostrar que el límite de es-
ta expresión es independiente de la sucesión de funciones
(
f
n
)
n
∈
N
considerada. Sea entonces
(
g
n
)
n
∈
N
otra sucesión
14
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19