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Algunas herramientas matemáticas para la economía y las finanzas. . .
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
tal que
g
n
−→
n
→
+
∞
f
en
L
2
([
a
,
b
])
. Escribimos, gracias al le-
ma 1
E
[
|
I
(
f
n
)
−
I
(
g
n
)
|
2
] =
E
[
|
I
(
f
n
−
g
n
)
|
2
] =
Z
b
a
(
f
n
−
g
n
)
2
dt
.
Puesto que
Z
b
a
(
f
n
−
g
n
)
2
dt
≤
2
Z
b
a
(
f
n
−
f
)
2
+ (
g
n
−
f
)
2
dt
y que cada una de estas partes tiende a cero cuando
n
→
+
∞
, concluimos que
l´ım
n
→
+
∞
I
(
f
n
) =
l´ım
n
→
+
∞
I
(
g
n
)
,
en
L
2
(
Ω
)
,
y esto muestra que no hay ambigüedad al considerar
I
(
f
)
.
D
EFINICIÓN
6.
Sea f
∈
L
2
([
a
,
b
])
, el límite I
(
f
)
definido por
la ecuación (17) es la integral de Wiener de f . Notaremos la in-
tegral de Wiener de f de la siguiente forma:
I
(
f
)(
ω
) =
Z
b
a
f
(
t
)
dB
(
t
) (
ω
)
,
ω
∈
Ω
.
(18)
La integral de Wiener es entonces un operador definido de
L
2
([
a
,
b
])
en L
2
(
Ω
)
.
Observemos que la integral de Wiener es un operador
lineal: en efecto, para todo
f
,
g
∈
L
2
([
a
,
b
])
se tiene, por
construcción, que
I
(
α
f
+
g
) =
α
I
(
f
) + (
g
)
.
T
EOREMA
4.
Para todo f
∈
L
2
([
a
,
b
])
, la integral de Wiener
R
b
a
f
(
t
)
dB
(
t
,
ω
)
es una variable aleatoria gaussiana de media ce-
ro y de varianza igual a
k
f
k
2
L
2
, es decir:
Z
b
a
f
(
t
)
dB
(
t
,
ω
)
∼ N
(
0,
k
f
k
2
L
2
)
.
(19)
Demostración.
Por el lema 1, se tiene esta propiedad cuan-
do
f
es una función simple. Para una función general de
L
2
([
a
,
b
])
, se obtiene el resultado como consecuencia del si-
guiente hecho general: si
X
n
es una variable aleatoria gaus-
siana de media
µ
n
y de varianza
σ
2
n
y, si
X
n
converge en
L
2
(
Ω
)
hacia una variable aleatoria
X
, entonces
X
es una
variable aleatoria gaussiana de media
µ
=
l´ım
n
→
+
∞
µ
n
y de
varianza
σ
2
=
l´ım
n
→
+
∞
σ
2
n
.
Demos un par de ejemplos de cálculo de integrales de
Wiener.
•
Sea
f
≡
1 sobre el intervalo
[
0, 1
]
, entonces,
I
(
f
) =
Z
1
0
f
(
t
)
dB
(
t
) =
Z
1
0
dB
(
t
)
es una variable aleatoria gaussiana, de media cero y de
varianza igual a 1, es decir
I
(
f
)
∼ N
(
0, 1
)
.
•
Sea
g
(
t
) =
t
2
sobre
[
1, 2
]
, entonces
I
(
f
) =
Z
2
1
g
(
t
)
dB
(
t
) =
Z
2
1
t dB
(
t
)
es una variable aleatoria gaussiana, de media cero y
de varianza igual a
R
2
1
t
2
dt
=
7/3; es decir
I
(
f
)
∼
N
(
0, 7/3
)
.
Estudiemos ahora la relación entre la integral de Wiener
y la estructura de los espacios de Hilbert subyacentes.
P
ROPOSICIÓN
5.
Sean f
,
g
∈
L
2
([
a
,
b
])
dos funciones, enton-
ces
E
[
I
(
f
)
I
(
g
)] =
Z
b
a
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
.
(20)
En particular, si f y g son ortogonales; entonces, las variables
aleatorias gaussianas I
(
f
)
y I
(
g
)
son independientes.
Demostración.
Escribimos, por un lado, que:
E
h
(
I
(
f
) +
I
(
g
))
2
i
=
E
h
(
I
(
f
+
g
))
2
i
=
Z
b
a
(
f
+
g
)
2
dt
por linealidad de la integral y por el lema 1. Es decir,
E
h
(
I
(
f
) +
I
(
g
))
2
i
=
Z
b
a
f
2
(
t
)
dt
+
2
Z
b
a
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
+
Z
b
a
g
(
t
)
2
dt
.
(21)
Por otro lado, se tiene
E
h
(
I
(
f
) +
I
(
g
))
2
i
=
E
h
I
(
f
)
2
+
2
I
(
f
)
I
(
g
) +
I
(
g
)
2
i
=
E
h
I
(
f
)
2
i
+
2
E
[
I
(
f
)
I
(
g
)]
+
E
h
I
(
g
)
2
i
=
Z
b
a
f
2
(
t
)
dt
+
2
E
[
I
(
f
)
I
(
g
)]
+
Z
b
a
g
2
(
t
)
dt
(22)
por el lema 1. Para concluir, es suficiente comparar (21) con
(22).
3.2 Desarrollo en serie de la integral de Wie-
ner
Vamos a ver que existe una relación muy particular en-
tre la integral de Wiener y el movimiento Browniano. Te-
nemos el siguiente teorema:
T
EOREMA
5.
Sea
(
φ
n
)
n
∈
N
una base ortonormal de L
2
([
a
,
b
])
;
entonces, para toda función f
∈
L
2
([
a
,
b
])
, la integral de Wiener
de f se descompone en una serie de la forma siguiente:
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
=
+
∞
∑
n
=
1
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
(
t
)
dB
t
,
(23)
con probabilidad
1
y en donde la suma aleatoria converge casi
seguramente.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19
15