Versión de HTML Básico
Diego Chamorro
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Demostración.
Empecemos fijando una función
f
∈
L
2
([
a
,
b
])
y una base ortonormal
(
φ
n
)
n
∈
N
de
L
2
([
a
,
b
])
. Te-
nemos entonces
f
=
+
∞
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
φ
n
,
luego, integramos ambos lados de la expresión anterior con
respecto a
dB
t
para obtener
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
=
Z
b
a
+
∞
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
φ
n
dB
t
=
+
∞
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
dB
t
.
(24)
Verifiquemos que se tiene esta identidad en
L
2
; para ello
vamos a calcular la expresión
E
"
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
−
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
dB
t
#
2
,
(25)
en donde
N
∈
N
. Desarrollamos el cuadrado y se tiene
E
"
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
2
−
2
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
dB
t
+
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
dB
t
!
2
=
E
"
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
2
#
−
2
E
"
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
dB
t
#
+
E
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
Z
b
a
φ
n
dB
t
!
2
=
Z
b
a
f
2
(
t
)
dt
−
2
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
E
Z
b
a
f
(
t
)
dB
t
Z
b
a
φ
n
dB
t
+
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
2
E
"
Z
b
a
φ
n
dB
t
2
#
Utilizamos ahora el resultado (20) para obtener
=
Z
b
a
f
2
(
t
)
dt
−
N
∑
n
=
0
h
f
,
φ
n
i
2
,
lo que tiende a cero si
N
→
+
∞
. Hemos, pues, verificado
que se tiene la identidad (24) en
L
2
puesto que la cantidad
(25) tiende a cero.
Veamos ahora la relación anunciada entre la integral de
Wiener y el movimiento Browniano. En efecto, en particu-
lar si escogemos
f
=
1
[
0,
t
[
en la expresión (23), se tiene:
Z
1
0
1
[
0,
t
[
(
s
)
dB
s
=
B
t
=
+
∞
∑
n
=
1
Z
t
0
φ
n
(
s
)
ds
Z
1
0
φ
n
(
s
)
dB
s
B
t
(
ω
) =
+
∞
∑
n
=
1
ξ
n
(
ω
)
Z
t
0
φ
n
(
s
)
ds
,
en donde
ξ
n
son variables aleatorias i.i.d.
∼ N
(
0, 1
)
. Esto
nos permite definir de una manera diferente el movimiento
Browniano.
4 Una aplicación del movimiento
Browniano y de la integral de Wie-
ner
Como hemos visto en la introducción, en la modeliza-
ción de los precios de las materias primas puede utilizar-
se el movimiento Browniano. Más concretamente, una se-
rie cronológica -dada por la evolución de los precios en el
tiempo- se descompone generalmente en dos partes: una
tendencia general
a la cual se añade
variaciones aleatorias
; de
esta forma se obtiene el modelo matemático para trabajar
en matemáticas financieras. Así, la evolución de los precios
de un activo financiero estará dada por medio de la fórmu-
la siguiente
dX
t
=
f dt
+
σ
dB
t
(26)
Expliquemos un poco esta expresión. Aquí,
dX
t
representa
la variación en el tiempo de los precios de un cierto activo
financiero
X
t
,
f
es la tendencia general, mientras que
σ
es
la intensidad de las variaciones aleatorias que están dadas
por un movimiento Browniano estándar
B
t
.
En el mayor grado de generalidad, las funciones
f
y
σ
son funciones medibles que dependen del tiempo
t
y de
los precios
X
t
. Es decir,
f
=
f
(
t
,
X
t
)
y
σ
=
σ
(
t
,
X
t
)
; pero
en una primera aproximación, podemos suponer que, tan-
to
f
como
σ
, dependen únicamente del tiempo:
f
=
f
(
t
)
y
σ
=
σ
(
t
)
. Con esta simplificación, la ecuación diferencial
(26) debe ser interpretada en el siguiente sentido:
X
t
=
X
0
+
Z
t
0
f
(
s
)
ds
+
Z
t
0
σ
(
s
)
dB
(
s
)
(27)
Diremos que (27) es la versión integral de la ecuación dife-
rencial estocástica (26).
Gracias a la integral de Wiener y a la descripción del
movimiento Browniano que acabamos de considerar en las
secciones anteriores, la expresión (27) tiene un sentido muy
concreto.
En cuanto a la resolución de este problema, tenemos el
teorema a continuación:
T
EOREMA
6.
Consideremos la ecuación diferencial estocástica
dX
t
=
f
(
t
)
X
t
+
g
(
t
)
dt
+
σ
(
t
)
X
t
+
θ
(
t
)
dB
(
t
)
,
X
0
=
x
.
(28)
16
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19