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Algunas herramientas matemáticas para la economía y las finanzas. . .
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
Entonces, su solución está dada por el proceso estocástico
X
t
=
xe
Y
t
+
Z
t
0
e
Y
t
−
Y
s
[
g
(
s
)
−
θ
(
s
)
σ
(
s
)]
ds
+
Z
t
0
e
Y
t
−
Y
s
θ
(
s
)
dBs
en donde
Y
t
=
Z
t
0
[
f
(
s
)
−
1
2
σ
(
s
)
2
]
ds
+
Z
t
0
σ
(
s
)
dB
(
s
)
.
Nótese que este teorema permite estudiar ecuaciones
más generales que las consideradas en la fórmula (26). La
principal diferencia radica en la presencia del término
X
t
en la parte derecha de la ecuación (28). Podemos darnos
cuenta que para realizar la demostración de este problema,
es necesario considerar una integral más general que la in-
tegral de Wiener: en efecto, en la definición de esta integral
dada en la fórmula (18), sólo habíamos considerado inte-
grales de la forma
Z
b
a
f
(
t
)
dB
(
t
)
,
en donde
f
era una función determinista. Es, por lo tanto,
necesario generalizar la noción de integral de Wiener. El
objeto matemático que corresponde a esta generalización
es la
integral de Itô
y se puede encontrar una descripción
detallada de esta integral en [6] o [7]. Consideramos que
la integral de Wiener es suficiente para un primer contacto
con los objetos matemáticos que intervienen en la modeli-
zación financiera.
Tenemos, gracias al teorema 6, una descripción de la
dinámica seguida por variables económicas, como son los
precios del petróleo, cacao, flores o banano. Pero los merca-
dos financieros van mucho más allá y utilizan estas varia-
bles como elementos de base para la construcción de nue-
vos productos.
Vamos a dar ahora un ejemplo que nos permitirá pre-
cisar el uso de las ecuaciones diferenciales estocásticas en
las actividades económicas. Supongamos que una empresa
de transporte aéro
A
desea planificar sus tarifas de boletos
para el verano 2012. Evidentemente, el precio de los bole-
tos dependerá del precio del petróleo, y es natural que la
empresa
A
desee protegerse ante una subida repentina de
los precios de los combustibles.
Existen mecanismos financieros para lograr este objeti-
vo: la empresa
A
puede buscar un banco
B
y comprar un
producto financiero con las siguientes características:
•
Duración del producto
: empieza el 1ero de enero 2012
y termina el 1ero de junio 2012.
•
Descripción del producto
: la empresa
A
tiene la
opción
,
y no la
obligación
, de comprar el 1ero de junio al banco
B
una cantidad determinada
N
de barriles de petró-
leo a un precio fijo
K
llamado el
strike
del producto.
•
Precio del producto
: Este producto tiene un precio que
notaremos
P
. Este precio de la cobertura depende de
muchos factores: tiempo
t
, strike
K
, valor del precio
del producto subyacente
X
t
, etc. Notaremos, enton-
ces,
P
=
P
(
X
t
,
t
)
.
De esta manera, la empresa
A
se protege de una subida re-
pentina de los precios del combustible pues ha negociado
por adelantado comprar su combustible a un cierto precio
K
. Este tipo de producto financiero es muy común y es de-
nominado un
Call
.
¿Qué sucede el 1ero de junio? Para verlo, notamos
X
t
la evolución del precio del petróleo y sea
X
T
el precio del
barril en el tiempo final
T
=1ero de junio.
•
Si
X
T
>
K
: El precio del barril de crudo, el 1ero de
junio, es mayor que el precio negociado
K
. La empre-
sa
A
tiene entonces todo interés en ejercer su opción:
comprar
N
barriles al precio
K
, que es inferior al pre-
cio observado en el mercado, y de esta forma se ha
protegido de una fuerte alza de los precios de esta
materia prima.
•
Si
X
T
<
K
: El precio del barril de petróleo, el 1ero
de junio, es menor que el precio negociado
K
. En este
caso la empresa
A
no tiene interés en comprar al ban-
co
B
algo que está más barato si lo puede conseguir
directamente en el mercado. Al no ejercer su opción,
la empresa pierde la cantidad
P
que ha pagado para
cubrirse de la alza de precios.
Es interesante notar que, en ambos casos, la empresa
A
se
ha protegido de las fluctaciones del precio del petróleo.
Observemos que la situación el 1er de junio es la si-
guiente:
P
(
X
T
,
T
) =
m´ax
{
X
T
−
K
; 0
}
y ésta es la condición al límite cuando
t
=
T
.
Indiquemos que, mientras más elevado sea el precio fi-
nal
X
T
, mayor será el ahorro realizado por la empresa
A
,
mientras que mayor será el riesgo del banco
B
quien ten-
drá que comprar a un precio elevado los barriles de petró-
leo para venderlos a un precio más bajo a la empresa
A
.
En los dos gráficos de la figura 5 se muestra la situa-
ción de la empresa
A
a la izquierda (
Short Call
), y del banco
B
a la derecha (
Long Call
). El
Premium
corresponde al pre-
cio de la cobertura; se observa claramente que si el precio
del barril comienza a aumentar, el ahorro y el riesgo gene-
rados por este producto pueden ser substanciales. Es por
esta razón que es muy importante conocer, en todo tiempo
0
<
t
<
T
, el precio de la cobertura
P
.
En efecto, contrariamente a los seguros para autos, es-
tos seguros de tipo
Call
pueden venderse y comprarse en
los mercados financieros internacionales en los que inter-
vienen una gran cantidad de actores distintos. Como los
bancos no poseen reservas de barriles de petróleos, para
cumplir el contrato el banco
B
está obligado a comprar en
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19
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