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Diego Chamorro
Analíti a
k
3
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
el mercado los
N
barriles de petróleo. Esta transacción pue-
de realizarse en cualquier momento antes del final del con-
trato, y esto permite la compra-venta de estos productos fi-
nancieros a otras entidades. Esta compra-venta de barriles
por parte del banco debe efectuarse de tal manera que
anu-
le
el riesgo producido por el
Call
. De esta manera, se crea
un mercado
secundario
de productos financieros adosados
a materias primas (por oposición al mercado
primario
en
donde se negocia el precio de estas materias primas) y, co-
mo hemos visto con este ejemplo, este mercado secundario
corresponde a una necesidad muy real de las empresas.
Figura 5.
Evolución del ahorro y del riesgo en función de la evo-
lución del precio del subyacente. Fuente: internet.
Para comprender lo que sucede con la dinámica del
precio de la cobertura durante el tiempo 0
<
t
<
T
,
y poder anular el riesgo generado es necesario conside-
rar la siguiente ecuación diferencial estocástica llamada la
ecuación de
Black-Scholes
. En este modelo se asume que el
producto subyacente
X
t
-el precio del petróleo en nuestro
ejemplo- sigue una dinámica de la forma
dX
t
=
µ
X
t
dt
+
σ
X
t
dB
t
,
mientras que el precio de la cobertura debe verificar la
ecuación de Black-Scholes
∂
P
(
X
t
,
t
)
∂
t
+
1
2
σ
2
X
2
t
∂
2
P
(
X
t
,
t
)
∂
X
2
t
+
rX
t
∂
P
(
X
t
,
t
)
∂
X
t
−
rP
(
X
t
,
t
) =
0 (29)
en dónde
r
es la taza de interés del mercado. Esta ecuación
es consecuencia de un gran número de hipótesis simplifi-
cadoras y su obtención puede encontrarse en detalle en [8]
o más rápidamente en [3].
La solución de esta ecuación diferencial estocástica está
dada por la fórmula de Black-Scholes
P
(
X
t
,
t
) =
X
t
N
(
0,
d
1
)
−
Ke
−
rt
N
(
0,
d
2
)
(30)
en dónde
N
(
0,
d
1
)
y
N
(
0,
d
2
)
son dos leyes normales de
varianza
d
1
=
1
σ
√
t
h
ln
X
0
K
+
r
+
1
2
σ
2
t
i
y
d
2
=
d
1
−
σ
√
t
.
Es importante recalcar que es por medio de la ecuación
de Black-Scholes (29) y del estudio de su solución (30) que
se obtiene un mecanismo de cobertura eficaz que permi-
te al banco
B
vender este producto financiero anulando su
riesgo intrínseco.
El cálculo exacto de la solución (30), así como las es-
trategias utilizadas para la anulación del riesgo están fue-
ra del alcance de este pequeño artículo. Hemos preferido
concentrarnos en una exposición de las propiedades de los
objetos de base que permiten construir las ecuaciones de
Black-Scholes.
Estas fórmulas muestran la importancia económica de
conocer correctamente las herramientas matemáticas que
intervienen en la modelización de los mercados financie-
ros.
5 Un poco de S
CILAB
Damos aquí los códigos en S
CILAB
que sirvieron para
realizar los gráficos de las figuras 2 y 4. Las ventajas de usar
S
CILAB
radican en que es un programa libre y gratuito que
está especialmente concebido para cálculos matriciales.
Hemos visto en la sección 2 que es posible
modelizar
el
movimiento Browniano en una dimensión por medio de
una caminata aleatoria. Vamos a seguir esta idea para el
código informático:
function []= browniano1d(N)
X=zeros(N+1, 1);
X(1)=0;
for k=2:(N+1)
X(k)=X(k-1)+(1/sqrt(N))*rand(1,1,"norm");
end;
clf();
plot(X)
endfunction
Para el movimiento Browniano en tres dimensiones, se
utilizó el siguiente código.
function []=browniano3d(N)
// inicializacion de los vectores
X=zeros(N+1,1); X(1)=0;
Y=zeros(N+1,1); Y(1)=0;
Z=zeros(N+1,1); Z(1)=0;
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Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 2 (2012), Vol. 3(1): 7-19