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Lilia Quituisaca-Samaniego, Juan Mayorga-Zambrano y Paúl Medina
Analíti a
k
6
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
polos (Markopolos, 2010), había denunciado públicamente
como fraude a la firma de Madoff; a finales del año 2008
las actividades de Madoff fueron declaradas legalmente co-
mo fraude, siendo sentenciado en 2009 a 150 años de cár-
cel (United States Attorney Southern District of New York,
March 12, 2009).
La demora en la detección del PZ de Madoff se debe
principalmente a la ausencia de herramientas matemáti-
cas que complementaran el Método de Análisis de Flujo de
Efectivo (Kitchens, 1993), el mismo que fue puesto en co-
nocimiento público por el FBI
1
en 1993. Los artículos (Artz-
rouni, 2009) y (Mayorga-Zambrano, 2011) dan una primera
respuesta a esta necesidad al concentrarse en la evolución
temporal de PZ.
En el presente trabajo, implementamos el algoritmo ge-
neral de (Mayorga-Zambrano, 2011) (AM) bajo la platafor-
ma JAVA, teniendo la posibilidad de modificar los paráme-
tros iniciales conforme al caso de estudio concreto a descri-
bir. Asimismo se mejora el nivel explicativo de los resulta-
dos mediante gráficas descriptivas.
Este trabajo está estructurado de la siguiente manera:
en la Sección 2 se repasan algunos conceptos, fórmulas y
variables relevantes al modelo matemático esquematizado
en AM; en la Sección 3 se estudian, mediante simulacio-
nes a partir de AM algunos casos concretos de PZ: el Caso
Cabrera (Ecuador), Proyecciones D.R.F.E. (Colombia) y el
Caso Madoff (Estados Unidos); en la Sección 4 se describe
con mayor profundidad la afectación económica derivada
del Caso Cabrera; en la Sección 5 se establecen conclusio-
nes generales del estudio y, finalmente, en los anexos A y
B, se muestra en detalle las simulaciones realizadas para el
caso de Carlo Ponzi (que dio nombre a este tipo de fraude),
junto con la esquematización del algoritmo generado para
el desarrollo de la investigación, respectivamente.
2 El modelo
Los trabajos de Artzrouni (Artzrouni, 2009) y Mayorga-
Zambrano (Mayorga-Zambrano, 2011) son pioneros en el
estudio de esquemas tipo Ponzi desde un punto de vis-
ta matemático. Con el modelo estocástico diseñado en
(Mayorga-Zambrano, 2011), es posible hacer un segui-
miento de más variables de interés de un PZ que con el
modelo determinístico de (Artzrouni, 2009); e.g. se puede
hacer un seguimiento, con las limitaciones propias de la
teoría de probabilidades, de: robo pecuniario, monto legal
del fraude, punto crítico (definido en términos del estado
financiero de la captadora) y punto de saturación (defini-
do en términos del capital real de la captadora). Asimismo,
se establece al capital promedio como un índice de referen-
cia sobre la viabilidad futura del esquema. Por otro lado,
el modelo diseñado en (Artzrouni, 2009) es más sencillo y
permite estudiar, con el apoyo de ecuaciones diferenciales,
el comportamiento de esquemas cuasipiramidales como el
de sistema de pensiones.
En esta sección haremos una revisión breve del modelo
desarrollado en (Mayorga-Zambrano, 2011). Es importante
resaltar que, para el modelamiento, se tomaron en conside-
ración criterios basados en el comportamiento observado
por periodistas y por personas perjudicadas por PZ. Por
ejemplo, la formulación (36) fue motivada por la experien-
cia observada durante la crisis de las pirámides de 2008
en el sur de Colombia y norte de Ecuador, donde un alto
porcentaje de clientes de un PZ eventualmente dejaron de
trabajar para vivir exclusivamente de las ganancias.
Tabla 1.
Notación de magnitudes en un PZ al tiempo
t
. Fuente: Elaboración propia a partir de (Mayorga-Zambrano, 2011).
Not.
Magnitud
Descripción / Comentario
h
Periodo de inversión
Periodo de inversión o periodo de retorno de interés
m
Inversión inicial
Monto del primer depósito de un cliente
i
p
Taza de retorno
Interés que ofrece un PZ para un período de inversión
h
D
(
t
)
Tamaño legal de la estafa
Obligaciones de un PZ en papeles
E
(
t
)
Expansión del capital inicial
E
0
Resultado de inversiones legítimas
R
(
t
)
Robo pecuniario total
Dinero extraído del pecunio de los clientes
F
(
t
)
Estado financiero
El patrimonio de un PZ es despreciable
L
(
t
)
Capital real total
Dinero que tiene un PZ
C
(
t
)
Número total de clientes
Todos los clientes que están en el sistema Ponzi
t
k
Tiempo de la transacción
k
Tiempo de transacción en el instante
k
N
k
Factor de expansión
Cantidad de clientes nuevos por cada cliente antiguo
c
k
Número de clientes nuevos
Clientes nuevos al tiempo
t
k
P
k
,
j
Captación teórica en
t
k
de ingresados en
t
j
Dinero que el cliente supone tener en su cuenta piramidal
ω
k
,
j
Tasa de retiros en
t
k
de ingresados en
t
j
Retiros de los clientes
P
(
t
)
Captación teórica total
Dinero no real captado
η
k
Tasa nominal
De inversión de un PZ en
t
+
k
ˆ
P
(
t
)
Capital teórico total
Dinero que un PZ finge tener en sus arcas
P
k
,
k
Dinero fresco que entra a un PZ en
t
k
Montos depositados por nuevos clientes
W
k
Total de retiros en
t
k
Retiros realizados por los clientes
U
j
,
k
(
t
)
Robo pecuniario en
t
k
a ingresados en
t
j
Monto de dinero que el sistema ha estafado
L
(
t
)
Capital promedio
Para hacer seguimiento del deterioro de PZ
E
(
t
)
Efectividad del sistema
Ganancia por una unidad monetaria pagada
1
Esta metodología de la Contabilidad Forense había servido de base para que, en 1987, la Corte Superior del Condado Ventura, California, declarara
culpable de fraude por un PZ a Charles Hodson.
52
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 3 (2013), Vol. 6(2): 51-66