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Simulación estocástica de esquemas piramidales tipo Ponzi
Analíti a
k
6
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
2.1 Relaciones básicas
En la Tabla 1, se presenta la notación a utilizar en el pre-
sente trabajo.
El modelo, diseñado y justificado conceptualmente en
(Mayorga-Zambrano, 2011), es descrito por las siguientes
relaciones.
t
k
=
k
·
h
,
k
=
0, 1, ...,
K
,
h
=
1, 2, ...,
H
, (1)
T
c
=
K
c
·
h
,
(2)
T
s
=
K
s
·
h
,
(3)
D
(
t
) = (
1
+
i
p
)
·
[
ˆ
P
(
t
)
−
E
(
t
)]
,
(4)
C
(
t
) =
C
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(5)
c
k
=
N
k
· C
k
−
1
,
(6)
C
k
=
k
∑
j
=
0
c
j
,
(7)
P
k
,
j
=
m
·
p
k
,
j
,
(8)
p
k
,
j
=
0,
si
j
>
k
,
c
k
,
si
j
=
k
,
p
k
−
1,
j
·
(
1
−
ω
k
,
j
)(
1
+
i
p
)
, si
j
<
k
.
(9)
P
(
t
) =
P
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(10)
P
k
=
k
∑
j
=
0
P
k
,
j
,
(11)
ˆ
P
(
t
) =
P
(
t
) +
E
(
t
)
,
(12)
E
(
t
) =
E
0
k
−
1
∏
l
=
0
(
1
+
η
l
)
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(13)
L
(
t
) =
L
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(14)
P
k
,
k
=
mc
k
,
(15)
(
L
0
=
E
0
+
m c
0
,
L
k
= (
1
+
η
k
−
1
)
L
k
−
1
+
P
k
,
k
−
W
k
,
(16)
W
k
=
m
·
w
k
,
w
k
= (
1
+
i
p
)
k
−
1
∑
j
=
0
ω
k
,
j
p
k
−
1,
j
.
(17)
D
(
t
) =
D
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(18)
D
k
= (
1
+
i
p
)
·
P
k
,
(19)
R
(
t
) =
R
k
,
t
∈
[
t
k
,
t
k
+
1
)
,
(20)
R
k
=
k
∑
j
=
0
U
j
,
k
(
t
)
,
(21)
U
j
,
k
(
t
) =
m
·
0,
si
j
>
k
,
c
k
,
si
j
=
k
,
c
j
−
k
∑
l
=
j
+
1
ω
l
,
j
·
p
l
,
j
, si
j
<
k
.
(22)
(
F
0
=
E
0
−
i
p
m c
0
,
F
k
=
F
k
−
1
−
P
k
i
p
+
η
k
−
1
L
k
−
1
,
k
∈
♮
.
(23)
L
(
t
) =
L
(
t
)
C
(
t
)
,
(24)
E
(
t
) =
L
(
t
)
−
E
0
W
(
t
)
.
(25)
Adicionalmente,
t
K
≤
T
<
t
K
+
1
,
(26)
N
k
N
N
k
,
1
4
,
(27)
ω
k
,
j
N
(
ω
k
,
j
,
σ
2
1
)
,
(28)
0
<
σ
1
<<
1,
(29)
η
k
N
(
η
,
σ
2
2
)
,
(30)
0
<
η
<<
i
p
,
(31)
0
<
σ
2
<<
1,
(32)
En este caso, el cálculo de las variables aleatorias
N
k
,
ω
k
,
j
y
η
k
siguen una distribución normal, dicha distribu-
ción es la más utilizada para modelar experimentos aleato-
rios, en este caso, variables continuas. Además, se ajusta a
fenómenos naturales, industriales e investigativos, y repre-
senta una gran cantidad de observaciones generadas en el
proceso. El promedio de las variables aleatorias depende
tanto de la cantidad de variables aleatorias promediadas
como de la probabilidad de cada variable que está dentro
de un rango determinado.
En cada cada variable aleatoria calculada, se tiene que:
•
la desviación estándar (0
<
σ
≪
1) es pequeña, por-
que es necesario que la precisión sea grande;
•
el intervalo de referencia [
µ
−
2
σ
,
µ
+
2
σ
] incluye
aproximadamente el 95,44 % de la distribución (va-
lores esperados)
Para (27) la desviación estándar indicaría que el ingreso
de nuevos clientes por referencia de los ya existentes en un
PZ, probablemente no supere el 50 %.
2.2 Evolución del factor de expansión prome-
dio
Para modelar la evolución de los valores esperados
N
k
,
Mayorga-Zambrano se apoya en un modelo SIR sencillo:
N
k
=
C
k
C
k
−
1
−
1,
(33)
C
k
=
I
(
t
k
)
· U
,
(34)
con
˙
S
=
−
a
S
(
t
)
I
(
t
)
,
˙
I
=
a
S
(
t
)
I
(
t
)
−
b
I
(
t
)
,
S
(
0
) =
1
−
1
U
,
I
(
0
) =
1
U
,
(35)
donde
S
representa la fracción de la PEA (población eco-
nómicamente activa) susceptible de ser estafada,
I
denota
la fracción de la PEA que ya está siendo estafada y
U
es
el tamaño real de la PEA en la región de influencia de un
PZ. Aquí, por facilidad, se ha supuesto que las variables
aleatorias
N
k
y
C
k
−
1
son independientes.
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 3 (2013), Vol. 6(2): 51-66
53