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Lilia Quituisaca-Samaniego, Juan Mayorga-Zambrano y Paúl Medina
Analíti a
k
6
Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
O
BSERVACIÓN
2.1.
El valor referencial de
U
corresponde al
grupo de personas de la edad establecida por cada país que desem-
peñan una ocupación o bien, si no la tienen, la buscan activamen-
te.
2.3 Evolución de la tasa de retiros promedio
El valor esperado de la tasa de retiros en
t
k
de los clien-
tes que ingresaron a un PZ al tiempo
t
j
depende de
k
−
j
, el
tiempo de permanencia en el sistema:
ω
k
,
j
=
(
(
k
−
j
)[
α
(
k
−
j
) +
β
]
, si
k
−
j
≤
d
1
,
ω
∗
,
si
k
−
j
>
d
1
,
(36)
con
α
=
d
1
ω
∗
−
d
0
ω
∗
d
1
d
2
0
−
d
0
d
2
1
,
β
=
d
2
0
ω
∗
−
d
1
ω
∗
d
1
d
2
0
−
d
0
d
2
1
,
y
ω
∗
=
i
p
i
p
+
1
,
donde los coeficientes
α
y
β
están determinados por los
puntos
(
d
0
,
ω
∗
)
y
(
d
1
,
w
∗
)
, que corresponden a los valores
esperados en el primer instante que el retiro se vuelve sig-
nificativo y en el que se retira toda la ganancia, respectiva-
mente.
Para calcular el valor esperado de la tasa de retiros, usa-
mos una interpolación lineal; sin embargo, la ecuación es
susceptible de cambio por otro tipo de comportamiento,
por ejemplo, cuadrático.
2.4 Criterios de parada
En (Mayorga-Zambrano, 2011) se definen dos criterios
de parada teniendo en mente que un PZ busca que su tiem-
po de funcionamiento
T
sea lo más extenso posible.
El
punto crítico T
c
de un PZ es el tiempo que su estado
financiero cambia por primera vez de signo:
(C1)
F
(
T
c
) =
0;
(C2)
F
(
t
)
>
0, para todo
t
∈
(
0,
T
c
)
;
(C3) Si
T
0
verifica (C1) y (C2), entonces
T
c
≤
T
0
.
Por otro lado, el
punto de saturación T
s
de un PZ es el ins-
tante en que su capital real total cambia por primera vez de
signo, es decir:
(S1)
L
(
T
s
) =
0;
(S2)
L
(
t
)
>
0, para todo
t
∈
[
0,
T
)
;
(S3) Si
T
0
verifica (S1) y (S2), entonces
T
s
≤
T
0
.
Los puntos crítico y de saturación son variables aleato-
rias cuyas distribuciones de probabilidad dependen de pa-
rámetros y variables del sistema (por ejemplo: periodo de
inversión, tasa de retorno, etc.). En (Mayorga-Zambrano,
2011) se demuestra que
T
s
se presenta cuando el número
de clientes nuevos es insuficiente.
2.5 Implementación del algoritmo general
La trayectoria o intervalo que siguen las personas a ser
estafadas
S
(
t
)
y las personas estafadas
I
(
t
)
es el tiempo
transcurrido entre la aparición de clientes nuevos por cada
cliente actual en un PZ. El intervalo
[
a
,
b
]
se calcula a partir
del punto central (
p
C
):
a
=
p
C
−
0, 05;
b
=
p
C
+
0, 05,
donde
p
C
=
U
concat
(
1;
rep
(
0;
long
(
U
)
−
1
))
,
y las funciones:
•
long
(
argumento
)
, es la función que permite obtener
la longitud de un valor;
•
rep
(
argumento
;
num
_
de
_
veces
)
, es la función que per-
mite repetir un texto o número cierta cantidad de ve-
ces;
•
concat
(
argumento
1
;
argumento
2
)
, es la función
2
que
permite unir texto, números, etc.
Por ejemplo, si
U
=
5592223, entonces
long
(
U
) =
7,
rep
(
0;
long
(
U
)
−
1
) =
000000
y
concat
(
1;
rep
(
0;
long
(
U
)
−
1
)) =
1000000
Se toma el criterio del punto central (
p
C
), por cuanto el
número de personas estafadas (
I
(
t
)
), es bajo en las prime-
ras y últimas etapas del proceso. Como resultado, el núme-
ro de estafados experimenta el mayor crecimiento durante
la etapa intermedia del proceso. Por tanto,
a
y
b
son ajusta-
dos para cada caso particular de un PZ.
La automatización del Algoritmo AM (véase Apéndi-
ce B) permite simular el comportamiento de un esquema
piramidal mediante el modelo desarrollado en (Mayorga-
Zambrano, 2011). Los parámetros iniciales
a
y
b
mencio-
nados anteriormente son fundamentales para cada simula-
ción; estos se deben elegir de acuerdo a la información en-
contrada para cada caso concreto de un PZ, teniendo pre-
sente la Observación (2.1).
El algoritmo se implementó bajo la plataforma de desa-
rrollo JAVA, con requerimientos técnicos mínimos
3
. Res-
pecto del algoritmo, se debe señalar que:
i) usa Normal
(
µ
;
σ
2
)
, un generador de números aleato-
rios que sigue una distribución
N
(
µ
;
σ
2
)
;
ii) usa sir
(
U
,
a
,
b
)
, una función computacional para la
resolución numérica del modelo SIR (35), median-
te un esquema de diferencias finitas: para un paso
0
<
ǫ
<<
1, se tiene que
S
(
t
∗
j
+
1
)
≈ S
(
t
∗
j
)[(
1
−
a
ǫ
I
(
t
∗
j
)]
(37)
I
(
t
∗
j
+
1
)
≈ I
(
t
∗
j
)[
1
−
b
ǫ
+
a
ǫ
S
(
t
∗
j
)]
,
(38)
con la inicialización
S
(
0
) =
1
−
1
U
;
I
(
0
) =
1
U
2
Propia del lenguaje de implementación, en este caso JAVA.
3
S.O: Linux/Windows; RAM: 512MB; velocidad: 4GHz; 60MB de espacio en disco (instalación), 1GB de espacio en disco (ejecución)
54
Analítika,
Revista de análisis estadístico
, 3 (2013), Vol. 6(2): 51-66