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Análisis de Movilidad Social en el Ecuador
Analíti ak
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Revista de Análisis Estadístico
Journal of Statistical Analysis
término de la derecha de las igualdades (9) y (10). Nótese
que el término está restando; por tanto, la cota calculada
para los casos de inmovilidad es menor que la probabili-
dad observada de que un hogar pase de pobre a pobre. Las
cotas estimadas hasta el momento son para el caso general,
es decir resulta indiferente que el individuo del primer pe-
riodo sea el mismo que se observa en el segundo periodo.
En el caso de interés, se reemplaza el ingreso de las cotas
(expresiones (8), (9) y (10)) por la aproximación (4); de esta
forma, se considera la situación en la que no se cuenta con
datos de panel, obteniéndose las siguientes cotas:
De no pobre a pobre:
Pr( ε∗i1 > z 1 − ˆ
β 1xi 1 ∩ ˆ
εi 2 < z2 − ˆ
β 2 xi2) ≤
Pr( ε∗i1 > z 1 − ˆ
β 1xi 1)Pr ( ˆ
εi 2 < z 2 − ˆ
β 2 xi2 ).
De pobre a no pobre:
Pr( ε∗
i1 < z 1 − ˆ
β 1xi 1 ∩ ˆ
εi 2 > z2 − ˆ
β 2 xi2) ≤
Pr( ε∗i1 < z 1 − ˆ
β 1xi 1)Pr ( ˆ
εi 2 > z 2 − ˆ
β 2 xi2 ).
De pobre a pobre:
Pr( ε∗i1 < z 1 − ˆ
β 1xi 1 ∩ ˆ
εi 2 < z2 − ˆ
β 2 xi2) ≥
Pr( ˆ
εi2 < z 2 − ˆ
β 2xi 2)−
Pr( ε∗i1 > z 1 − ˆ
β 1xi 1 ∩ ˆ
εi 2 < z2 − ˆ
β 2 xi2).
De no pobre a no pobre:
Pr( ε∗i1 > z 1 − ˆ
β 1xi 1 ∩ ˆ
εi 2 > z2 − ˆ
β 2 xi2) ≥
Pr( ˆ
εi2 > z 2 − ˆ
β 2xi 2)−
Pr( ε∗i1 < z 1 − ˆ
β 1xi 1 ∩ ˆ
εi 2 > z2 − ˆ
β 2 xi2).
4.1.3 Estimación de la cota inferior
Para la estimación del Límite inferior para los casos de
movilidad (ρ = 1), se estima el ingreso de los hogares del
periodo 1 en el periodo 2 usando la especificación:
y∗
i 1 = β 1x i2 + ε i2. (11)
Dado que para estimar este ingreso se utiliza el error co-
rrespondiente del periodo 2, no es necesario realizar un
muestreo con repetición; por construcción, la correlación
entre los términos de error de ambas rondas será 1. Se cal-
culan las probabilidades del periodo 1 con el vector de pa-
rámetros y el error del periodo 2. Entonces, si un hogar es
pobre en el periodo 1, es muy probable que sea pobre en
el periodo 2; el caso contrario también ocurrirá. La cons-
trucción de la probabilidad para el Límite superior es: Sea
Pr( A) = Pr (yi1 < z1 ) y Pr(B ) = Pr (yi 2 > z 2), y por defi-
nición de intersección de probabilidades:
Pr( A ∩ B) = Pr ( A) + Pr( B) − Pr( A ∪ B)
Pr( A ∩ B) = Pr ( A) + 1 − Pr( B′ ) − Pr( A ∪ B)
Pr( A ∩ B ) = Pr (A ) − Pr (B ′ ) + [1 − Pr( A ∪ B )] (12)
El término entre corchetes es no negativo; por eso, al sus-
traerlo de la expresión (12), la cota que resulta de esta ope-
ración será siempre menor a la probabilidad observada
siendo una cota inferior.
Pr( yi1 > z 1 ∩ yi 2 < z2 ) > Pr (yi2 < z2 ) − Pr (yi1 ≤ z1 )
(13)
Pr( yi1 < z 1 ∩ yi 2 > z2 ) > Pr (yi1 < z1 ) − Pr (yi2 ≤ z2 )
(14)
Nótese que, al computar estas probabilidades, la cota infe-
rior del caso pobre a no pobre, va a ser la misma cantidad
que la cota superior del caso no pobre a pobre pero con
signo contrario; ello da lugar a cotas negativas, en cuyo ca-
so el valor mínimo admitido será de cero. Para el caso de
interés, como no se tienen datos de panel, se utiliza la va-
loración del ingreso de la expresión (11); ella se reemplaza
en las expresiones (13) y (14) para los casos de movilidad,
y en las expresiones (9) y (10) para los casos de los hogares
que no cambian su situación económica. De esta forma, se
obtienen las siguientes cotas:
De no pobre a pobre:
Pr (ˆ
εi2 > z1 − ˆ
β 1x i1 ∩ ˆ
ε i2 ≤ z 2 − ˆ
β2 xi2 ) >
Pr (ˆ
εi2 < z2 − ˆ
β 2x i2) − Pr( ˆ
εi2 ≤ z 1 − ˆ
β 1xi 1).
De pobre a no pobre:
Pr (ˆ
εi2 < z1 − ˆ
β 1x i1 ∩ ˆ
ε i2 ≤ z 2 − ˆ
β2 xi2 ) >
Pr (ˆ
εi2 < z1 − ˆ
β 1x i1) − Pr( ˆ
εi2 ≤ z 2 − ˆ
β 2xi 2).
De pobre a pobre:
Pr (ˆ
εi1 < z1 − ˆ
β 1x i1 ∩ ˆ
ε i2 < z 2 − ˆ
β2 xi2 ) ≥
Pr (ˆ
εi2 < z2 − ˆ
β 2x i2)−
Pr (ˆ
εi1 > z1 − ˆ
β 1x i1 ∩ ˆ
ε i2 > z 2 − ˆ
β2 xi2 ).
Pr (ˆ
εi2 > z1 − ˆ
β 1x i1 ∩ ˆ
ε i2 > z 2 − ˆ
β2 xi2 ) ≥
Pr (ˆ
εi2 > z2 − ˆ
β 2x i2)−
Pr (ˆ
εi2 < z1 − ˆ
β 1x i1 ∩ ˆ
ε i2 > z 2 − ˆ
β2 xi2 ).
4.2 Enfoque paramétrico
En este enfoque se trata de disminuir la amplitud del
intervalo de confianza del indicador de movilidad de la po-
breza, imponiendo una distribución normal bivariada para
los términos de error del modelo del ingreso. Adicional-
mente, se supone que la correlación entre los términos de
error ρ se encuentra acotado entre 0 < ρ < 1. La función
de distribución acumulada se estructura como:
Φ( α, β , ρ ),
donde las variables α y β son variables con distribución
normal con media y varianza determinadas, y ρ es el nivel
de correlación entre ellas. Justamente, la función permite
estimar, para cada individuo, la probabilidad conjunta de
que suceda el evento α y β . La Figura 6 muestra la distribu-
ción normal bivariada para dos variables con distribución
normal con media y varianza determinada. Nótese que la
probabilidad conjunta buscada es el volumen acotado en-
tre la superficie y los intervalos de las variables α y β bus-
cados.
Analítika, Revista de análisis estadístico, 4 (2014), Vol. 8(2): 53-68 59